摘要: 本文利用导数知识与函数的单调性、最值、泰勒公式、拉格朗日中值定理、定积分和函数的凹凸性的关系. 并结合一些相应的例题探讨导数在不等式证明中应用. 

毕业论文关键词: 导数，不等式，最值，泰勒公式53928

Abstract:In this paper, we use the relation between derivative knowledge and function monotonicity, the most value,Taylor formula,Lagrange theorem,definite integral concave ,convex function. And we will combinate with some corresponding examples to discuss the application of derivative in the inequality proof.

Keywords: derivative,  inequality,  the most value,  Taylor formula

1 前言 4

2 导数在不等式证明中的一些应用 4

2.1利用函数的单调性证明不等式 4

2.2 利用函数的最值证明不等式 5

2.3 利用泰勒公式证明不等式 6

2.4 利用拉格朗日中值定理证明不等式 7

2.5 利用导数与积分的结合证明不等式 8

2.6利用函数的凹凸性证明不等式 9

结论 11

参考文献 12

致谢 13

1 前言

在我们的数学学习中，不等式的证明无处不见，而我们用于不等式证明的方法也在逐步积累，这些证明方法也逐步得到多样化.导数的应用和微分中值定理是导数知识中的重要内容.导数的应用主要包括：利用导数判断函数的最值、凸性、单调性、泰勒公式，而微分中值定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.我们可以根据数学分析中的内容把它们和要证明的不等式有机结合起来，寻找证明中的有效途径.本文将通过这些知识并结合其相对应的一些例题，系统地突出导数在不等式证明中的重要地位.

2 导数在不等式证明中的一些应用                    

2.1利用函数的单调性证明不等式

在数学学习中，很多问题都可以用函数的思想来解决，而我们今天所要着重研究的不等式问题也同样可以用函数的思想来解决，为达到简化不等式的目的我们可以把不等式转化为函数，在转化后的函数的基础上，我们可以利用函数的单调性证明要证的不等式.此时，我们可以先判断出函数的单调性，最后利用函数单调性的结论或性质证明不等式，从而使不等式得证.

定理  设函数 在区间 上可导，那么 在 上递增（或递减）的充分必要条件是 在区间 内成立.

解决此类问题时，要先构造辅助函数，把证明不等式转化为证明函数的单调性，由此得证.

用单调性证明不等式的一般步骤如下： 

（1） 选取适当的函数 ，确定函数 自变量所在的区间 ，

（2） 求 ，确定 在区间 上的单调性，

（3） 根据 在区间 上的单调性，完成目标不等式的证明.

例1 证明:当 时,有 

为证明此题可将不等式转化为函数，在转化后的函数的基础上，利用导数知识来判断函数的单调性，进而证明要证的不等式.为达到把不等式转化为函数的目的.此题可将不等式变形为 . 通过观察发现，不等式右端只是将左端的 变为 ，进而易想到构造这样的函数 .那么此题就转化为证明 .