摘　要：研究一阶微分方程 .首先给出其为全微分方程时的解法，再研究具有如下形式积分因子时方程的解法.最后推广到一般形式 . 

毕业论文关键词：微分方程，积分因子，通解54671

Abstract： We need consider one order differential equation  . First, we give the solution of the complete differential equation. Then, we should study this equation when integral factor has the form

The last, we can extend it to a general form .

Keywords：Differential equations, integral factor, general solution

目   录

1 前言.3

2 全微分方程及其通积分的求解方法.3

3 一阶微分方程的积分因子的求解方法及应用.4

3.1 具有形为 积分因子的条件.4

3.2 具有形为 积分因子的条件8

3.3 具有形为 积分因子的条件11

3.4 推广成形为 积分因子的条件12

4 用分组法求得方程的积分因子并求其通解13

结论14

参考文献15

致谢16

1 前言

物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的，要想探索这些规律，就要寻找满足某些条件的一个或者几个未知函数，并进行求解运算.

方程，是指那些含有未知量的等式，表达了未知量所必须满足的某种条件。如果在一方程中的未知量是数，这样的方程就称为超越方程.如果在一方程中的未知量是函数，这样的方程就称为函数方程.如果在一个函数方程中含有对未知函数的积分运算或者在积分号下有未知函数，这样的函数方程就称为积分方程.如果在一个函数方程中含有对未知函数的求导运算或微分运算，这样的函数方程就称为微分方程.只有一个自变量的微分方程称为常微分方程.否则称为偏微分方程.

微分方程的理论逐步完善，利用它可以精确的表达事物变化所遵循的基本规律，只需列出相应的微分方程，解出方程.从而,微分方程就成了最有生命力的数学分支.

但是常微分方程的通解的求法并不是显然的,甚至利用初等积分法无法得出其通解.但初等积分法又是常微分方程中最基础的部分.下面介绍几种具有特殊形式积分因子的方程的通解的求法.

2 全微分方程及其通积分的求解方法

如果微分形式的一阶方程

的左端恰好是一个二元函数 的全微分，即

则称 是全微分方程或恰当微分方程 ，而函数 称为微分式 的原函数.

定理1.1  假如 是微分 的一个原函数，则全微分方程 的通积分为

 .

其中 为任意常数.

定理1.2  如果方程 中的 在矩形区域

上连续可微，则方程 是全微分方程的充要条件是：在 上有

 .                                     

且原函数为

 .

全微分方程 的通积分是

以上为全微分方程的求解公式，但是，方程 未必都是全微分方程.

假如存在这样的连续可微函数 ，使方程

 成为全微分方程，则称 为方程 的一个积分因子 .

积分因子并非很容易观察出来，一般地，设  都是连续可微的，对于微分方程 ，则积分因子 必须满足关系式