中国古算中的无理数产生于开方不尽和圆周率的计算．刘徽在《九章算术注》中有关无理根数的运算以及求微数法的叙述，是中算史上无理数理论保存至今的唯一珍贵文献．

《九章算术》开方术有云：“若开之不尽者，为不可开，当以面命之．”何谓“以面命之”? 刘徽注释“以面命之”，就是将这个开之不尽所得之新数命名为积之“面”，即相当于现代定义了一个方根．徽注云：“术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也．凡开积为方，方之自乘当还复其积分．令不加借算而命分，则常微少，其加借算而命分，则又微多．其数不可得而定．故唯以面命之为不失耳．”

除之不尽而“命分”，开之不尽而“命面”，由运算引进新数，这是中算家关于数系扩展的深刻思想，为刘徽阐发得如此透彻．

“面”作为与现代数学中所谓“方根”同义的专门术语，不仅在《九章算术》中有明文记载，而且汉代以来便多有应用．

刘徽的“求微数法”是对古代无理数理论的又一重大贡献．刘徽《九章算术注》中论及此法者有3处：方田章“圆田术注”、少广章“开方术注”和“开立方术注”．

刘徽的论述表明，中算家通过千百次的开方运算懂得，存在开方不尽之数，其结果是不能用分数的有限形式来表示的．对于这种情形，或者引进新数称之为“面”，或者用求微数法以十进分数来无限逼近．并且中算家不仅会用十进分数作近似计算以满足实用的需要，而且会用“面”（即方根）来进行无理数的精确的理论计算．这种方法与现代数学中处理无理数的表示与计算的方法，可以说是极其相似．

3  无理数的表示方式源.自|优尔,:论`文'网www.youerw.com

从公元前5世纪到公元17世纪，无理数一直被认为是不可理喻的数．特别是无理数的不可约性的本质究竟是什么？长期以来众说纷纭．15世纪意大利著名画家达芬奇将之称为“无理的数”．17世纪德国天文学家开普勒称之为不可名状的数．

直到公元19世纪，经过无数数学家的探索，无理数的面纱才终于被揭开．1872年，法国数学家戴德金、魏尔斯特拉斯、康托尔不约而同地发表了有关实数理论的论文，他们分别用有理数的“分割”、递增有界数列的极限、退缩有理闭区间序列来定义无理数，从而得到了整个实数系．这样，无理数作为实数集的一部分，才为人们所接受．

3.1  用无限不循环小数表示无理数

有理数用十进位制小数表示时，或是有限小数，或是无限循环小数．人们也想用十进位制小数来表示无理数．康托尔的实数理论为之提供了理论依据，无理数可以用有限小数构成的退缩有理闭区间序列来逼近．

例如  ．因为  ，   所以  ；

          因为  ， 所以  ；

因为  ，所以  ；

因为  ，所以  ；

于是，确定 的退缩有理闭区间序列 ：

 ， ， ， ，  ，

因此   ．

有人把无理数定义为“无限不循环小数”．

3.2  用连分数表示无理数

    在人们用无限不循环小数表示无理数的同时，还耿耿于怀用分数来表示无理数．尽管希伯索斯已经证明了 不能用分数来表示．人们这样尝试

    于是  简记成   ，其中（2）表示2一直循环．

这样的表示方式称为连分数．一般的，有限连分数表示有理数，而无限连分数表示无理数．其中，无限循环连分数表示代数无理数，而无限不循环连分数则表示超越数．