摘 要：本文主要探讨了反证法在多项式理论，矩阵，线性空间以及线性变换中的应用.

毕业论文关键词：反证法，多项式理论，矩阵，线性空间，线性变换

Abstract: In this paper, we mainly discuss some applications about the proof by contradiction in

the polynomial theory, matrices, linear spaces and linear transformations.

Key Words: proof by contradiction，polynomial theory，matrices，the linear space，        linear transformation

目  录  56245

1 引言 4

2 反证法的概念及步骤 4

3 反证法在高等代数中的应用 4

3.1反证法在多项式中的应用 4

3.2反证法在矩阵中的应用 8

3.3反证法在向量空间中的应用 11

3.4反证法在线性变换中的应用 12

4 反证法的优越性及其应注意的问题 13

结论 14

参考文献 15

致谢 16 

1  引言

反证法作为一种证明方法，在数学领域的研究中有着独特的地位，我们已经将它应用于各个不同的领域当中去.无论是数学分析，还是高等代数，离散数学，反证法都占有重要的地位，是一种独特的思想方法.意大利人芝诺首先提出了反证法这一概念，他因此而设想了四个有名的例证，我们后来把它们称为“芝诺悖论” .而古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数， 的非有理性证明就是一个例子 .我们依据矛盾律和排中律对反证法的本质进行探究，通过假设的命题，以之为条件，得出错误的结论.它能够另辟蹊径考虑问题，简化解题步骤，使复杂的问题变得简单，故而反证法的研究显得十分有必要 .本文主要研究反证法在高等代数多项式，矩阵，线性空间等方面的应用，希望能够为反证法的应用提供一个参考.

2  反证法的概念及步骤

什么是反证法？法国数学家阿达玛曾如此定义：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾 ．我们称这种利用假设导出矛盾的方法为反证法.

反证法的证明十分简单，主要分为以下几步：

第一步 推翻命题，进行假设.即假定原命题不成立．

第二步 推理演算，得到矛盾.从假设出发，通过一系列严密的逻辑推理，从而推导出矛盾．

第三步 前后比较，判断对错.通过对比发现冲突，判定假设错误．

3  反证法在高等代数中的应用源'自:优尔-'论/文'网"www.youerw.com

3.1  反证法在多项式中的应用

3.1.1  关于不可约多项式的问题

例1  设在次数大于1的整系数多项式 中，使函数值为素数的整数 的个数是无限个的，则 为有理数域Q上的不可约多项式.

分析 证明多项式问题可用的方法不多，我们可以想到的有定义法，等价转移法，以及直接运用定理等.对于不可约多项式的证明，定义法相当困难，且能够转移的与之等价的条件也不多，而定理证明只有Eisenstein判别法可以直接使用，但必须知道多项式的形式，所以我们可以用反证法.本题条件并不多，且无法得知多项式 的具体形式，故而从正面来证明可能无从下手，这时可转换思路，正难则反，选用反证法证明.

证明（反证法）  若 在有理数域上可约，则 可以分解为