摘 要：本文从泰勒公式的基本定义出发，列出泰勒公式的常见形式，并结合一些典型例题具体论述泰勒公式在数学分析学习中的应用，从而有助于加深我们对泰勒公式的理解.

毕业论文关键词：泰勒公式，常见形式，解题方法56810

Abstract:In this paper, we list the common forms of the Taylor formula application from the basic definition of the Taylor formula. We also discuss some typical examples of the Taylor formula in the mathematical analysis of learning. Those applications could help us build a deeper understanding of the Taylor formula.

Key words:Taylor formula，common forms，problem solving methods

目   录

1  引言 4

2  泰勒公式理论介绍 4

2.1  泰勒公式的定义 4

2.2  泰勒公式的余项 5

2.3  几种常见函数的泰勒展开式 6

3  泰勒公式的应用 6

3.1  应用泰勒公式求极限 6

3.2  应用泰勒公式进行近似计算 7

3.3  应用泰勒公式证明不等式 8

3.4  应用泰勒公式证明中值定理 9

3.5  应用泰勒公式证明级数的敛散性 10

3.6  应用泰勒公式证明存在性问题 10

结  论 12

参考文献 13

致  谢 14

1  引言

泰勒公式是微积分中最重要的结果之一，它利用导数的信息，将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数.这种化繁为简的功能，使它成为分析和探究其他数学问题的有效工具.本文简要介绍了泰勒公式的概念[1]，各种余项[2]及几种常见函数的泰勒公式的展开式[3].同时针对泰勒公式的应用讨论了以下 6 个问题，分别是： 应用泰勒公式求极限， 用泰勒公式进行近似计算， 应用泰勒公式证明不等式， 应用泰勒公式证明中值定理[4]， 应用泰勒公式证明级数的敛散性， 应用泰勒公式证明存在性问题.

2  泰勒公式理论介绍

泰勒公式在数学中具有重要的作用，前人已总结出泰勒公式的定义、各种余项以及泰勒公式的几种常见函数的泰勒展开式.我们在理解泰勒公式基本定义的基础上并记住它的常见形式将有助于我们解题.源Y自:优尔W.论~文'网·www.youerw.com

2.1  泰勒公式的定义

定理1  假定函数 在点 存在1到 阶的各阶导数，则当 时，有 

证明  记则不难验证     ，

在下述极限计算中连续 次使用洛必达法则得到   ，   

考察上式最后一项（对于这个极限不能再使用洛必达法则，因为我们只假定了函数 在 点有 阶导数，没有假定 在 的附近也存在 阶导数，因而不能保证 在 附近存在导数），由 式经过简单计算可以得到

 ，于是 式的最后一项可以写成

 .　（其中用到了 的定义）

将此式代入 便得到 ，即 ，由此立即得到 式.

2.2  泰勒公式的余项

2.2.1  带有 （佩亚诺）型余项的 公式

设 在点 有直到 阶的导数，则有 ，   .             

特别地，当 时，即为麦克劳林公式.