摘要：总结和探讨了针对各种不同的被积函数和不同的积分区域的特点进行变量代换的技巧，显示了变量代换在二重积分计算中的巧妙运用.

毕业论文关键词：二重积分，变量代换，极坐标变换，曲线坐标变换56860

Abstract：To summarize and discuss the skills of variable substitution which aim at the trait of a variety of different integrand integration and the integral area, showing the use of the variable substitution in double integral calculation.

Keywords：double integral, variable substitution, polar coordinate transformation, curve coordinate transformation

目  录

1 引言 4

2 二重积分的极坐标变换 4

2.1极坐标变换 4

2.2极坐标变换的选择 4

2.3极坐标下二重积分化为两个定积分的乘积 7

3 曲线坐标变换 8

结论 14

参考文献 15

致  谢 16 

1 引言

在计算定积分时，由于被积函数的原函数不易求，所以常常会利用换元法将被积函数的形状进行转化，以便于使用基本求积公式.在计算二重积分时也类似的使用转化的思想求解.二重积分不仅面临被积函数需要转化的问题，有时也会遇到积分区域过于复杂的情况，甚至有时积分区域往往会成为困难的主要方面，此时就要根据不同的问题采用不同的变量代换方法，简化被积函数或简化积分区域，从而使得二重积分的计算得以简便.二重积分的变量代换主要有极坐标变换和一般的曲线坐标变换 .选择合适的坐标变换在二重积分的计算中往往能简化运算步骤，减少运算量，从而起到事半功倍的效果，甚至有些二重积分不用坐标变换不能求解.在本文中，我们通过举例，剖析和总结一些变量代换在二重积分计算中的巧妙运用.

2 二重积分的极坐标变换

2.1 极坐标变换源Y自Z优尔W.论~文'网·www.youerw.com

引进新变量 、 ，就得到极坐标 代替直角坐标 来计算二重积分的公式

其中 是在极坐标系下的面积元素.

如果                      , 则

当 时，得到 的面积等于  .                     

2.2极坐标变换的选择

如引言所述，计算二重积分时，要从被积函数和积分域两个方面来考虑如何适当地选择坐标系，如果能采用适当地坐标系，往往可以起到事半功倍的效果.从积分域来考虑，一般情况下，圆形，扇形或环形可以选用极坐标系.

例1 将连续函数 在两圆 和 之间的环形区域 上之二重积分化为二次积分.

解 先画出域 的图形，如图 .

若用直角坐标，则需要将 分为四个子区域：  如图  所示.所以，在 上的积分

若用极坐标，有  显然，极坐标系下运算比较方便.

例2 计算二重积分 ，其中区域 为 .

解 这个二重积分若用直角坐标计算是积不出来的，因为被积函数的原函数不是初等函数.将积分区域变换为极坐标，这时区域 可表示为

被积函数 .于是这里应用了极坐标，面积元素中的 因子帮了很大的忙，它使不可积函数变成可积函数了.

例3 求由平面 ，平面  平面与半径为 的上半球面 所围成的体积.