摘要: 数列极限问题是数学分析的基本问题，而Stolz定理是处理不定式极限的重要工具.本文主要给出了Stolz定理的几种推广形式,并在此基础上，给出了其一些应用实例.

毕业论文关键词: O.Stolz定理，极限，不定式59820

Abstract: The problem of the sequences’ limits is a basic problem of mathematical analysis. Stolz Theorem is an important tool to deal with the limits of indefinite forms. This paper mainly presents some generation forms of Stolz Theorem. On this basis of it, this paper gives some application examples of Stolz Theorem.

Keywords: O.Stolz Theorem, limit, indefinite form 

1 引言 4

2 O.Stolz定理的推广 4

3 应用13

结论17

参考文献18

致谢19

1 引言

数列极限问题是数学分析的基本问题，整个数学分析理论是建立在数列极限理论基础之上的. 不定式的极限是数学分析理论中极为重要的一类极限，例如，导数就是通过不定式极限的形式给出定义的. 研究不定式极限可利用的工具有很多，如利用已知的一些重要极限，罗比达法则等. 可见[1-6].而O.Stolz定理是解决此类极限的一种非常重要的工具.

关于O.Stolz定理，已有不少文献对其进行研究， 如[7-10]. 本文将在此基础上，给出了Stolz定理的几种推广形式,并给出了其一些应用实例.    

   关于数列极限的Stolz定理，有以下两种形式. 见[1].

    定理1    设数列 严格单调递增且趋于 , 为任一数列,

若 ,则 （其中 为有限数,或 ,或 ）.

定理2    设数列 满足 , 严格单调递减且趋于0,

若 ,则 （其中 为有限数,或 ,或 ）.

2 O.Stolz定理的推广

本节将推广O.Stolz定理至函数形式. 实际上，就是推广至满足某些条件的两个函数关于某正数 的一阶差分的商的极限形式，进而推广为两函数关于某正数 的2阶乃至 阶差分的情形.

首先考察一阶差商的 形式.

定理3   设 为常数. 若函数 , 满足

（i） ， ;

（ii） （当 时）,且 , 在 内闭有界;

    （iii） （其中 为有限数,或 ,或 ）;

则 .

证明： 情形一： 若 为有限数时,不妨设 , .由条件（iii）得

 , 正数 ， 及 

有 上述各式相加有由 （1） 的右边不等式可得

 .由于显然 , 在 中有界,

当 时， 关于 一致趋于  .

故存在正整数 ，使

       .

于是对一切 ,恒有

 ，

从而

 ，

由于 的任意性,故

 .

由（1）的左边不等式, 同样可得 .

于是 即

情形二： 若 为 时,不妨设 , .由条件（iii）得

 , 正数 . 及 

有上述各式相加有 .

由于显然 , 在 中有界,

当 时， 关于 一致趋于  .

令 ,则有