摘  要：结合不同的例题，系统的总结和阐述利用多项式的重根、介值定理、零点定理来解决导数在确定高次方程根方面的各种方法和技巧．从而确定高次方程的根的范围、重数等．

毕业论文关键词: 高次方程，重根，方法59821

Abstract：The combination of different examples, summary of system and elaboration, the roots of polynomials ,the intermediate value theorem, the zero point theorem to solve the derivative of various methods and techniques in determining the root of equation. In order to determine the scope of equation root, weight number.

Keywords: High order equation, Root weight, Method

目  录

1 引言 4

2 多项式的重根在求高次方程根中的应用 4

3 零点定理在求高次方程根中的应用 6

4 罗尔中值定理在求高次方程根中的应用 8

总  结 11

参考文献 12

致  谢 13

1 引言

高次方程是现行教学大纲高中代数教材的终结．从多项式函数及其导数以及高阶导数的零点之间的关系出发，应用多项式的导数以及高阶导数探求高次方程的根的性质包括根的范围、个数和重数等问题．二次、三次和四次的方程有公式解，而三次、四次的高次方程的解法直到 世纪上半叶才得到且求根公式非常复杂．对于 次以上的方程则没有公式解．因此,对于高次方程,只能对一些结构特殊的方程我们可以求出它们的初等解．微分中值定理是微分学理论的主要组成部分，在导数应用中起着承上启下的作用．因此借助罗尔中值定理、介值定理、零点定理、多项式的重根等来探讨导数在确定高次方程根的问题.

多项式的重根  设 , 称为 的 重根，如果 是 的 重因式．当 时， 称为单根；当 时， 称为重根．因此，一个多项式在数域 中有重根，则它必有重因式． 中 次( )多项式 在 中至多有 个根 ．

零点定理（根的存在定理）  若函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即   ），则至少存在一点 ，使得 ,

即方程 在 上至少有一个根 ．

罗尔中值定理  若函数 满足如下条件：

  在闭区间 上连续；

  在开区间 上可导；  

则在 上至少存在一点 ，使得  ．

在一些数学分析的解题方法的著作中，时常会看到有关导数在确定高次方程根方面的的题目，例如文献[1-6].在本文中，将系统总结在大学里学习中数学分析的体会,并利用多项式的重根、零点定理、罗尔中值定理来解决导数在确定高次方程根的一般原则方法及注意事项进行阐述和概括.

2 多项式的重根在求高次方程根中的应用

例  证明多项式 没有重根．

证  假设 有重根 ，则 于是 ，

故 ．然而，零不是 的根，这就产生了矛盾．所以， 没有重根 ．

例  当 是什么数时， 有重根？