摘　要：本文根据正定矩阵，引进了亚正定矩阵的定义，结合正定矩阵的一些性质，总结归纳了亚正定矩阵的若干性质。

毕业论文关键词：正定矩阵，亚正定矩阵，二次型59903

Abstract: In this paper, it has defined sub positive definite matrix according to the definition of  symmetric positive definite matrix. It has summarized the nature of sub positive definite matrix.

Keyword: symmetric positive definite matrix, sub positive definite matrix, quadratic form

1  前言…4

2  几个引理…4

3  亚正定矩阵的性质5

结论 … 13

参考文献14

致谢 … 15

 1 引言

所谓 级正定矩阵是指: 级矩阵 称为正定矩阵，如果 是对称矩阵且对任意不等于零的向量 ，都有  .

我们知道所谓正定实二次型是指：实二次型 称为正定的，如果 当且仅当 时等号成立.

二次型的矩阵都是对称的，所以对任意的实对称矩阵 都有对应的实二次型 有  , ，

所以可以看出来正定矩阵和正定二次型是存在一一对应关系的.然而在单独观察矩阵时，我们又可以发现存在部分矩阵虽然不是对称矩阵但也能满足正定条件.对于这一类矩阵的研究实际早已进行了.

1985年，Horn R.A和Johnson C.R在文献[2]中深入的研究了有关这类实广义正定矩阵的定义.1990年，屠伯埙在文献[3]中提到了亚正定矩阵的定义：

    定义  级矩阵 称为亚正定矩阵，如果有 的实对称分支 是正定矩阵.  

本文引入如下记号： 级矩阵 的转置矩阵为 ； 级矩阵 的逆矩阵为 ； 级矩阵 的伴随矩阵为 ； 级矩阵 的行列式为 ； 级矩阵 的秩 ； 的对称分支为 ； 的反对称分支为 .

2  几个引理

   引理1  正定矩阵是亚正定矩阵.

   证明 因为对任一正定矩阵 有所以 是正定矩阵所以可得 是亚正定矩阵.

引理2  若 是正定矩阵，则 大于零.

引理3  若 是正定矩阵，则 是正定矩阵.

    引理4  若 是正定矩阵，则 可逆且 是正定矩阵.

引理5  若 是正定矩阵，则 是正定矩阵.

引理6  若 是正定矩阵，则 的实特征根大于零.

引理7  若 是大于零的实数 是正定矩阵，则 是正定矩阵.

引理8  若 、 是同级正定矩阵，则 是正定矩阵.

引理9  若 是反对称矩阵则对任意的不等于零的向量 有 .

    证明 因为 是反对称阵所以 ，

又因为对任意不等于零的向量 有 是一维的所以

所以对反对称阵 任意不等于零的向量 有                              .

引理10  对任意的正定矩阵 与反对称实阵 ，恒有 ，等号成立的充要条件是 .       

引理11  当实数 足够大时，对实对称矩阵 有 是正定矩阵.

引理12  若 是正定矩阵， 是非奇异矩阵，则 是正定矩阵.

3  亚正定矩阵的性质

   性质1  若 是亚正定矩阵，则对任意不等于零的向量 ,有 .

    证明 因为 是亚正定矩阵时有 是正定矩阵，所以对任意不等于零的向量 有

已知对亚正定矩阵 有任意的不等于零的向量 有 是一维的，所以

所以对任意不等于零的向量 有 .反之若对任意不等于零的向量 有 ，因为 是一维的，所以有   且   ，所以 ，

所以对任意不等于零的向量 有 ，