1.3复数的向量形式
在之前的学习中,我们知道平面内的点集与平面上的向量的集合之间是一一对应的:点 对应向量 .通过传递性,在复平面内,复数 与向量 也建立起了一一对应.称复平面上的以原点 为原始的向量 为复向量.复数 能够用向量  表示(如图(2)),并且称复数的这种表示法为复数的向量表示,.特别地,复数 对应的是零向量 ,即长度为 的向量.
一个复数 可以表示为向量 = ,决定向量 = 有两个要素:一是它的长度 ;二是向量 与 轴正向的夹角 的大小.由于  是表示复数 ,于是我们将 、 与 建立起联系,称 为复数 的模(或绝对值),记作 ,称 为复数 的辐角,记作 .
                   
由上可知给定一个复数 ,向量 就可以确定了,它的长度 也就确定,即任意一个复数都有与之对应的唯一一个模,但对于辐角 ,若绕着原点按逆时针或顺时针旋转几圈,表示的仍然是同一个指向,因此复数的辐角 并不唯一,若 是复数 的辐角,则 也是 的辐角.为了讨论方便,我们称复数 在 内的辐角为复数 辐角主值,记作 .
综上所述,复数 与点、向量之间可以建立一一对应关系:
      .
根据两点间距离公式和与 轴正向夹角的计算公式,若 ,对应点 ,我们有 .
 
几个特殊情况:
(1)当 时,复数 对应 ,模 ,辐角任意;
(2)当 ,即 为实数时, ,即实部的绝对值, ( )或 ( ).                          
1.4复数的三角形式
当复数  ( )已知时,我们可以求出它的模和辐角,反过来,如果已知复数 的模和辐角时,如何得到这个复数呢?
我们设复数 的模为 ,辐角为 ,复数 对应点 ,由三角函数的定义,我们可以得到 .根据复数与向量及复平面内的点的一一对应关系,我们有 .
我们称用复数的模、辐角表示的 为复数 的三角形式.特别地,若 ,则 .利用复数三角形式的推导过程及定义,我们可以实现复数的代数形式与三角形式的互化.
 
当 时, 称为单位复数.
复数三角形式的运算规则:
设 ,则有 当 时,由复数三角形式的乘法,可得到棣莫弗公式:
             .
在三角形式中这是一个重要的公式.
1.5复数的指数形式
通过复数的三角形式的乘法,不难发现,两复数相乘的结果就是复数模相乘,辐角相加,这种改变运算等级( 的现象在学过的知识中有过出现.
在指数函数中有 ,这是把两个同底幂相乘转变为同底的指数相加,在对数函数中, 是把两个整数积的对数变成两个同底对数的和.从上面可以看出,复数的乘法与指数函数的关系更为相近些:
 , , 应该可以表示成某种指数形式,即
复数应该可以表示成 .那么就有以下问题需要解决:
(1)体现复数本质的三个要素:模 、辐角 、虚数单位 的位置的确定.
(2)他们以什么形式出现在这些位置上?
(3)用什么常数作为指数形式的底?
下面先看第一个问题:观察下面等式
 , .
可以看到 ,显然模 应该占据 的位置,观察辐角 应该占据 的位置,对于虚数单位 ,若将其放到系数 的位置会如何?由于  等式右边是实数,对于任意虚数而言,这是不可能的,所以辐角 也应该在指数的位置.这样新的问题就出现了: 与辐角同在指数的位置上,那他们之间应该满足何种关系?若他们满足相加会出现什么样的结果?
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