右导数与左导数统称为单侧导数.

若函数 在点 的某邻域内有定义,则 存在的充要条件是在点 处的左右导数存在且相等. 

3  常见导数问题的类型

3.1 切线问题

切线问题 是高考数学中导数最基本的问题之一,在近三年的全国高考题中,这一类型的题目在这三年高考导数问题全部类型题目中的比重约为16%(以下说的比重与此处类似).对此只需要利用导数的定义与几何意义求解便可.文献综述

例3.1(2013全国卷 )设函数 .若曲线 和曲线 都过点  ,且在点 处有公切线 .求 的值.

   解 由题意得

 , , , .

 , ,

代入上式得 , , , ,从而有 , , , .

注:切线问题还可参考下面例3.3的(2)、(3)小问.

3.2  单调性问题 

函数的单调性问题也是导数在高考中的常见问题,相应的比重约为19%.一般这一类型的题目大多就是利用函数单调性的性质,即在定义域上求其导函数 的根,再根据所求结果将函数分成若干个单独的小区间,如果要证明单调性或求单调区间,只需在每个小区间上证明导函数的正负性.当然偶尔也会用到分类讨论或者构造函数的方法,但是都特别简单.

例3.2(2014江西)已知函数  .

(1) 当 时,求 的极值;

(2) 若函数 在区间 上单调递增,求参数 的取值范围.

解 (1)当 时, 

 ,

由 得 或 .

当 时, ,则函数 单调递减;

当 时, ,则函数 单调递增;

当 时, .则函数 单调递减.

故函数 在 时取极小值,且值为 ,在 时取极大值,值为 .

(3) 易求得来.自/优尔·论|文-网·www.youerw.com/

 ,

因为当 时, ,则由题意可知,当 时,有

 ,

从而

 ,

则 的取值范围为 .

  例3.3 (2013四川)已知函数

 ,

( 为实数).点  是所给函数图像上的两个点,并且 .

(1)求函数 的单调区间;

(2)若函数 在点 和点 处的两切线相互垂直,且有 ,求 的最小值;

(3)若函数 在点 和点 处的两切线相互重合,求参数 的范围.     

解 (1)当 时有

 ,

则 时有 , 时有 ;当 时有 ,

由上可得函数 的函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 , .

(2)由 , 两点的切线相互垂直,则有等式 ,

由于

 ,

且由 可得

 ,

则有 , ,此时 

   .

由不等式性质可知,当且仅当 即当 , 时等号才会成立,

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