摘要数学分析与实变函数是本科阶段所学习的很重要的两门课程，本文旨在对数学分析与实变函数的比较研究，通过从Riemann积分与Lebesgue积分的角度入手，讨论Riemann积分与Lebesgue积分的建立与发展，两者间的区别与联系，并举例运用Lebesgue积分解决一些Riemann积分中的问题. 66686

毕业论文关键词：黎曼积分  勒贝格积分  比较  研究  

A Comparative Study of Mathematical Analysis and Real Variable Function

Abstract

Mathematical analysis and real variable function are very important courses that we learn in the university. This paper is aimed to compare mathematical analysis and real variable function. From the view of Riemann integral and Lebesgue integral, we discuss the establishment and development of Riemann integral and Lebesgue integral. Also, we discuss the differences and relations between Riemann integral and Lebesgue integral, and we illustrate how to use Lebesgue integral to solve some problems about Riemann integral.

Key Words: Riemann integral   Lebesgue integral  comparison  research

目  录

摘要-Ⅰ

Abstract--Ⅱ

目录-Ⅲ

1 绪论--1

2 Riemann积分与Lebesgue积分的建立与发展--1

2.1 Riemann积分的确立1

2.2 Riemann积分的局限1

2.3 Lebesgue积分的确立--2

3 Riemann积分与Lebesgue积分的联系与区别--3

3.1Riemann积分与Lebesgue积分的定义--3

3.2Riemann积分与Lebesgue积分的相关性质--4

3.3Riemann积分与Lebesgue积分的相关定理--5

4用Lebesgue积分解决一些Riemann积分中的问题--6

参考文献-10

致谢11 

1 绪论

数学分析与实变函数是大学中所学习的很重要的两门课程，而Riemann积分与Lebesgue积分又在这两门课程中扮演着重要的角色.本文重在讨论数学分析与实变函数的比较研究，主要从Riemann积分与Lebesgue积分的角度入手，讨论Riemann积分与Lebesgue积分的建立与发展，两者间的区别与联系等，整体对数学分析和实变函数有个比较详细规范的对比.

2 Riemann积分与Lebesgue积分的建立与发展

2.1 Riemann积分的确立

17 世纪的时候，牛顿和莱布尼兹潜心研究探索,创立了微积分.之后的两百年中,有一系列数学家,他们潜心研究，不断的发展积分的概念.最开始的时候，它是一类几何问题，是关于曲面体体积和曲边形面积的计算.一开始，数学家都想出一个方法，就是分割区间，将区间 等分, 计算 个矩形面积之和，再用这个和去逼近 图象的面积, 得到所求面积的近似值.但是，这样的方法很有弊端，例如，对于可积函数 , 是其中的区间长度，论文网

在 时，右侧极限是否存在？最主要的还在于，我们需要计算曲边形的面积，但它是一种客现存在, 它的值应该与我们所采用的分割或选点是没有关系的[1].之后，柯西就站了出来，在他不断地探索后，他提出了一种创造性的方法去定义积分，即先分割区间，再去作和，然后求极限.之后，黎曼完善了积分的概念,所以现在我们习惯称积分为Riemann积分.

2.2 Riemann积分的局限

（1） Riemann可积函数必须满足一个条件：几乎处处连续，这个要求太严[2].例如Dirichlet函数

（其中  是有理数集），在 上处处不连续，所以是Riemann不可积.

（2）在积分与极限的顺序交换上要求的条件太严格.一列Riemann可积函数，它的极限函数不一定Riemann可积.因此在这个问题上，我们能很明了的看出Riemann积分的局限性.例如要使等式