函数是数学分析的研究对象，自然也是复变函数的研究对象，是最基本概念。在实数域中函数定义如下：

定义: 设 是一个给定的数集，如果有一个法则 ， 总有唯一的 和它对应，则称 是定义在 上的函数，记作 ，数集 叫做这个函数的定义域。在学习复函数时，自然想到复变函数中的函数定义是否也能如此定义.

在复数域中函数定义如下：

定义:设 是一个给定的复数集，如果有一个法则 ， 总有唯一的w和它对应，则称 是定义在 上的复变函数，记作 ，数集 叫做这个函数的定义域.

现在我们已经清楚了实数域中的函数与复数域中函数的定义，那么它们之间有什么样的区别与联系呢，总结起来表现为以下几个方面： 

从两种函数的定义中可以看出，二者形式完全一样，都反映函数的三要素：定义域，对应法则，值域，而且两者的几何意义也未曾发生变化，这体现了函数的本质特性，此外，对一个复变函数 的研究可以转化为对两个二元实函数  的讨论.很多函数的性质是相同的.

但两类函数定义也有很多不同的地方.文献综述

（1）自变量的取值范围发生了变化，实函数 的自变量是实数，它反映两个实数轴 轴和 轴上点集的对应关系；而复变函数 的自变量是复数，映射 把 平面上的点集 映成 平面上的点集 ，因而需要用两个复平面来表示.

（2）某些函数性质发生了变化，如复指数函数 在整个复平面上是以 为基本周期的周期函数，即 ，但实指数函数没有周期性.

通过两类函数的比较，使得学生在学习复变函数概念时，可以从数学分析中函数的概念入手去记忆和理解，了解两者的联系和区别，但是需要注意自变量的范围已经从实数域推广到了复数域.

3 极限 

极限在数学分析中是研究函数的主要工具，在复变函数中也不例外，如何将数学分析中极限的思想转到复变函数上来，二者相互比较联系，能更好地理解极限的本质，下面来看两者的定义.

在数学分析中函数的定义如下：

定义：设 在 的某去心邻域 内有定义，若当 有 ，则称常数 为其极限，记为

在复变函数中函数极限定义如下：

定义：设 在 的某去心邻域 内有定义，若当 有 ，则称常数 为其极限，记为

从二者的定义看出：

二者从表现形式上都反映当其趋于某一定点时，相应的函数值与一个常数之间的逼近程度，即只要 （或 ）逼近到 （或 ）的 邻域，它们的像 （或 ）就会进入 （函数在一点的极限值）的 邻域。此外，研究复变函数的极限问题可以转化为研究两个二元实变函数 （其实部和虚部）的极限的相应问题.

但两者也有很多不同，两者区别主要表现在以下几个方面：

（1）由于两者的逼近方式不同，数学分析中一元函数的极限最多两种逼近方式，然而在复变函数中是平面上的逼近，所以可以是任意方向，从而数学分析中的极限实质上是复变函数极限的特殊情况。与二元函数的逼近方式相似.

（2）此外在无穷远处的极限中两者存在巨大差异，在实数中， 分为 与 ，分别指数轴上两端无限远处的点，然而在复平面上只有唯一的无穷远点 ，主要是由于复球面的北极 与拓广的复平面上唯一的无穷远点形成了一一对应，该无穷远点不但是复平面得唯一的边界点，而且还可以有自己的邻域.

通过两类函数的比较，使得学生在学习复变函数极限时，可以知道复变函数 极限和连续的定义和实函数极限和连续的定义在形式上是一致的，运算法则和性质都相似，因此，理解和记忆都非常方便.