例 ： 证明初值问题

                                                   （2.3）

的解存在性。

证：若 是初始值问题的解,（2.3）两端积分

                      （2.4）

反之，若一个连续函数 满足（2.4）则它是（2.3）的解。

构造迭代序列 来证明（2.3）有解。

取 由于 收敛，且 

代入验证函数 为初值问题的解,  这就得到解的存在性。

2.2一阶常微分方程的解的稳定性

考虑微分方程组

                                                    (2.4)

     其中函数 对 和 连续，对 满足局部利普希茨条件。

设方程（2.4）对初值 存在唯一解 ,而其他解记作 .本文中向量 的范数取  .

如果所要考虑的 是有限闭区间，那么这是 连续依赖性;现在所要考虑的 是无穷区间，那么解对 连续依赖性，这就产生的 意义下的 概念[16]

如果对于任意给定的 和 都存在 ,使得只要 就有 .对一切 成立，则称（2.4） 的解  是稳定的,否则是不稳定的。

假设 是 的，而且存在 ,使得只要 ,就有 

 .

则称（2.4）的解 是 的。

为了简化讨论，通常把解  的 化成零解的 问题。下面记 , , 

作如下变量代换：

令   

                                                (2.5)

则       

于是在变换（2.5）下，将方程（2.4）化成 

                                                      (2.6)

其中 ，这样关于（2.4）的解  的稳定性问题就化为（2.6）的零解 的稳定性问题了。因此，我们可以只考虑（2.4）的零解 的稳定性，即假设 ,并有如下定义：

定义  2.1 [5]  若对于任意给定的 和 ，存在 ,使当 时有来,自|优;尔`论^文/网www.youerw.com

                                               （2.7）

对所有的 成立，则称（2.4）的零解是稳定的，反之是不稳定的。

定义  2.2[6]若（2.4）的零解是稳定的，且存在  （ 为定义2.4中的 ），当 时有

 .

则称（2.4）的零解是渐近稳定的。

例 .  考察系统  

的零解的稳定性。

解：不妨取初始时刻 ,对于一切 , 方程组满足初值条件  , 的解为   

对任一 ，取 ,则当 时,有

故该系统的零解是稳定的。

然而，由于

 .

所以该系统的零解不是渐近稳定的。

设 维自治微分方程

                          (2.8)

的解为 。为了研究(2.8)解的稳定性，考察随时间变化时 的变化情况。将 视为 的复合函数，关于 求导得