环的零因子的探讨+文献综述(3)

1）至少有两个右逆元；
2）没有左逆元；
3）是左零因子.
证明 1） 2）设是的两个不同的右逆元，则
假设有左逆元，那么                     .
根据乘法的结合律可得到
                     ，即 .
这与矛盾，因此没有左逆元.
    2） 3）设是的右逆元，所以而
故是左零因子.
3） 1）设是的右逆元，由题意知是左零因子，即存在，使得                       .
又                 ,
故也是的右逆元，易知，所以至少有两个右逆元.
    定理2.1.2 若是的一个左零因子，则对任意，或者是零元或者是的一个左零因子；
    若是的一个右零因子，则对任意或是的一个右零因子.
证明因为是的一个左零因子，所以在中存在，使得 .
对任意，当时，是零元.