摘要：概率证法主要是通过构造适当的随机变量，结合数学期望的一些性质，并根据函数的特点简洁方便地证明数学中的一些用其它方法较难证明的不等式。本文将主要运用概率论中的知识来解决一些不等式。72494

毕业论文关键词：不等式，随机变量，概率证法，凸函数，数学期望

Abstract: Probability method is mainly through constructing an appropriate random variables, combined with some properties of the mathematical expectation, and according to the functions and features of convenient and simple to prove some other methods are difficult to prove inequalities in mathematics。 This article will focus on the use in probability theory knowledge to solve some inequalities。

Key words: inequality, random variables, probability method, convex function, mathematical expectation

目录

1 前言   3

2 相关知识 3

2。1 概率的定义及其相关性质 3

2。2 上凸函数与下凸函数 4

2。3 数学期望的定义及其相关性质 4

3 不等式的概率证法举例 6

3。1 代数中不等式的概率证法举例 6

3。2 数学分析中不等式的概率证法举例 9

结论13

参考文献14

致谢15

1 引言

在高等数学中，不等式十分常见其证明方法也多种多样。一般的代数证明方法有，最简单常用的作差或者作商、将不等式化简构造函数，在对其求导分析根据单调性加以证明、了解算术平均数和几何平均数的概念加以利用或者数形结合；也可以通过利用数学分析中的一些常用证明方法，比如，微积分方法、证明级数收敛时常用的放缩法、反证法或者根据不等式的特点巧妙地结合中值定理的相关知识来证明。

不等式的证明一直是高等数学证明中重中之重，但是有些不等式利用一般的证明方法证明起来不仅十分复杂让人较难理解接受而且还需要多种方法综合利用才能解决。此时，对于某一类不等式如果能巧妙地利用概率论方法去证明,不但可以简化证明,而且也可以让人更容易理解接受。概率论是研究随机现象规律的一个数学分支，利用概率论的知识去证明不等式构造出合理的随机模型十分重要。本文将通过建立合理的随机模型,证明高等数学中一些常见的不等式。

2 相关知识

本文在证明不等式过程中所需要用到的一些相关概念、定理和性质如下。

2。1 概率的定义及其相关性质文献综述

定义  设 为一个样本空间，对 中的任一随机事件 ，定义一个实数值 满足：

⑴ 非负性：  ；

⑵ 正则性： ；

⑶ 可列可加性：若 两两互不相容，有

则称 为事件 的概率。

性质 (逆事件的概率) 对于任一事件 有

性质 （加法公式） 对于任意两事件 有

上式可以推广至多个事件的情况，例如设 为任意三个事件，则有

   一般对于任意 个事件 可以用归纳法证得

2。2 上凸函数与下凸函数

定义  设 为定义在 上的函数，若对 上的任意两点 和任意实数 总有

则称 为 上的凸函数（下凸函数）。反之。如果总有

则称 为 上的凹函数（上凸函数）。

定理  若 在某区间内二阶导数 >0，则函数 在此区间内是下凸的；若 ，则函数 在此区间内是上凸的。