2。1 定理1

     为正定矩阵的充要条件是 的特征值皆大于零。

证明：必要性

      设λ为实对称矩阵 的特征值，对应的特征向量为 ，即  = ，

两端左乘 ，得    =   ，我们注意到 ≠0，由二次型的正定性知   >0，又  =‖ ‖ >0，因此特征值 是正数，必要性得证。

      充分性文献综述

      设 的n个实特征值 ， ，…， 全大于零。由于n阶实对称矩阵 一定正交相似于对角矩阵，因此 必有n个单位正交的实特征向量 ， ，…， ，分别对应于特征值 ， ，…， ，这组特征向量 ， ，…， 成为 的一组标准正交基，因此任何非零的n维向量X均可表示为它的线性组合，即存在不全为零的 ， ，…， ，使

 = + +…+ ，将 作用等式的两端，得

 =   +   +…+   =   +   +…+   ，

由于  =( , ),因此由上两式，在标准正交基下计算内积得  =( , )=（ ）  +（ ）  +…+（ ）  >0，

这就证明了二次型 =  是正定的。

同时这里我们还可以进行推论，若 正定，则 的n个特征值都是正数， 的n个特征值的乘积可以写作 ，所以我们就可以推出若实对称矩阵 正定，则 >0。

2。2 定理2

     的正惯性指数是n。

证明：因为对于任意n元实二次型 （ ， ，…， ）=  ，都存在正交线性替换 ，使二次型 （ ， ，…， ）化为标准形

 =  +  +…+  ，

当 的特征值全大于零，即 正定时，标准形可进一步化为规范形 + +…+ ，因此正定二次型的正惯性指数是n。

2。3 定理3

     的顺序主子式全大于零。

证明：我们可以把 的前m行m列的子矩阵记为 （m=1,2，…，n）， 为一个实对称矩阵。令 =（ ，…， ，0，…，0），其中 ，…， 不全为零，则

（ ，…， ）  =  >0来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

所以 构成的m元二次型也是正定矩阵。因此 >0，即 的一切顺序主子式都大于零。

2。4 定理4

     为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵 ，使 = 。

证明：必要性

      因为n阶实对称矩阵 正定的充要条件是存在可逆矩阵U，使 合同于单位矩阵 ，即 ，所以可在两端左乘以 ，右乘以 ，得

  令 ，有 。      充分性    已知  ，对于n元二次型 。因为 可逆，则对于任意的非零向量 ， 。设 （ ， ，…， ） ，则

 >0，即 正定，即 正定。

通过上述证明及研究我们不难发现，正定矩阵的定理之间都是相互关联的，我们可以由定理1。1推出定理1。2，也可以从这些定理出发，进行适当的条件转换从而得到进一步的推论。具体在解决相关问题的过程中，需要我们灵活地选取定理或者将定理进行变形从而得到最符合题目需求的结论进行求解。

正定矩阵的定理及推论还有不少，这里作者挑选了一些比较主流的定理进行了相关证明，权当抛砖引玉，希望有时间有兴趣的研究者能进行更深入的研究和发现。接下来我会利用相关定理解决一些例题同时对正定矩阵的相关矩阵进行一定的研究。