逆矩阵的求法及其在投资组合等方面的应用(3)
二 可逆矩阵的概念
2.1 可逆矩阵的定义
定义：设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆矩阵，B为A的可逆矩阵。
2.2 逆矩阵的求法
2.2.1 定义法
级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 ,使得
这里 是单位矩阵，那么我们可以将矩阵 的逆矩阵表示如下： .
例1.设 为 阶矩阵，并且满足 ,求 .
解： 由定义可知
2.2.2 伴随矩阵法
设 是 阶实矩阵，若 ,那么
证明: 设 阶矩阵
由行列式 的值等于它的任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和，以及行列式的某一行（列）的元素与另外一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，有以下等式成立：
这里 由此可知，若令那么
,由此可得，
由矩阵定义可知：
2.2.3 初等变换法
如果A可逆，则A可通过初等变换，化为单位矩阵 ，即存在初等矩阵 使得
用 右乘上式两端，得：
比较（1）、（2）两式，矩阵 和单位矩阵 的初等变换是同时进行的，当就 化为单位阵 时，单位阵 化为 的逆矩阵 。
用矩阵表示：
初等行变换
初等列变换 ，当用初等变换求矩阵的逆时，只能用行变换或列变换，不能同时进行。
2.2.4 分块矩阵法
（1）可逆分块矩阵的一般求法
设分块矩阵 可逆，且 可逆，求分块矩阵的逆。
（a)由M可逆，若A可逆
证明： ， ， 存在。
则M可逆的充分必要条件是 可逆。
同理可证：
（b）若B可逆，则M可逆的充分必要条件是 可逆；
（c）若C可逆，则M可逆的充分必要条件是 可逆；
（d）若D可逆，则M可逆的充分必要条件是 可逆。
（2）准对角线型矩阵的求逆
设 、 都是非奇异矩阵,且 为 阶方阵， 为 阶方阵，若矩阵 ，则 .
证明： 、 均为非奇异矩阵，
为可逆矩阵 设 ,
其中 ， 又 、 均为可逆矩阵， 证毕.
可以将上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角线型矩阵中去，即：
（3）准三角型矩阵求逆
设 、 为非奇异矩阵，则 .
证： 两边求逆得： 证毕.
同理可证 .
2.2.5 利用线性方程组来来求矩阵的逆
定理：若 阶矩阵 可逆，线性方程组 ,其中 的解为
，于是 的第 行是
，其中 是第 个分量为 的单位向量.
例2.求下述n阶矩阵的逆矩阵
解：先解线性方程组
其中 ，将这n个方程相加，得：
令 ，由上式得：
由第一个方程减去第二个方程得：同理，可求出：记 ，令 得：
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