关于拓扑空间的定义+文献综述
关键词：拓扑；各种定义；等价性
Definition of a topological space
Abstract: There are many definitions of topological spaces, and some people continue to try to define the topological space, a new method to construct the topology, in the interior, closure, closure, sub base, base and the neighborhood can not define topological space? Is it right? Arbitrary point sets can define a topological space? Help to enrich the theory of point set topology space in topology to solve these problems. First, collect the topological space has been designed in this paper, and then answer the question above, from the topology concept "open", "closed set", "neighborhood", "closure", "medium", "medium" of view, using relevant operation and theorem, the definitions are the same conclusion in essence, also is the equivalent, which gives the same research object - topological space.
Keywords: Topology； various definitions；equivalence
引言
点集拓扑学是数学的一个分支，它研究拓扑空间以及定义在其上的各种数学构造的基本性质。对于实数轴上点集的细致研究，度量空间的概念，以及早期的泛函分析，起了必不可少的纽带作用。通过这种可以被很多数学分支适用的表述形式，点集拓扑学抓住了所有对连续性的直观认识。它在复杂的计算中有广泛的应用，能过化难为易。不同文献给出的“拓扑空间”的定义表述不同，Hausdorff 的拓扑学经典著作《集论》用“邻域”定义“拓扑空间”，Kuratowski 的经典拓扑学论文（Fund.Math.3(1922), 76-108）则是用他著名的“闭包”定义“拓扑空间”。当今拓扑文献往往倾向于用简洁的“开集”定义拓扑空间。本文将探讨从不同角度出发所定义的拓扑空间，阐述几种定义之间的关系，给出相应的定义定理并进行补充说明，总结拓扑空间定义中核心的本质的内容。
第一章 定义的介绍及证明
定义1. （闭包公理）设X是一个集合,C:P(X)→P(X)是集合X的一个闭包运算，也就是对于任何A,B∈P(X),
(1)C( )= ;
(2)A C(A);
(3)C(A∪B)=C(A)∪C(B);
(4)C(c(A))=C(A)，
则存在X的惟一的拓扑T使在拓扑空间（X,T）中对于每一个A X，有C(A)= 。
证明：我们证明X的子集族T={U X|C( U＇)= U＇}便是满足定理要求的那个唯一的拓扑，首先验证T是X的一个拓扑；
（1） 根据定义有C( )= ，即C(X＇)=X＇，因此X∈T；根据X C(X),因此
X=C(X)，即C( ＇)= ＇,所以 ∈T；
（2） 设A,B∈T,即C( A＇)= A＇, C( B＇)= B＇,应用定义我们有
C((A∩B) ＇)=C(A ＇∪B ＇)= C( A＇) ∪C( B＇)= A＇∪B＇=(A∩B) ＇
因此A∩B∈T。
（3） 若A,B X, A B,则C(A) C(B).这是因为当A B时，我们有
B=A∪(B-A),所以C（A） C（A）∪C（B-A）=C(B).
现在设T1 T，即X的子集族T1满足条件：对于任何一个A∈T1有C(A＇)=A＇.一方面，对于任何A1∈T1,
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