摘要不等式是数学学习过程中的重点，又由于不等式证明的方法灵活多变，所以它也是数学学习过程中的难点。由于函数及其性质等知识贯穿数学学习的始终，本文归纳总结了利用中学数学以及高等数学中函数的性质的知识及思路证明不等式的方法，包括有界性、凹凸性、单调性、极值和最值，以及奇偶性,并总结了初等数学中的比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法、换元法等基础证明方法，将函数性质与基础证明方法相结合解决不等式的证明问题，由相应例题来说明应用这些方法的场合及具体证明方法。74492

Inequality has been our focus on mathematics learning process, and because of flexible inequality proven methods, so it is our mathematical learning difficulties in the process of studying 。 Since the function and nature of mathematical knowledge is always through learning, this paper summarizes the use of advanced mathematics in high school mathematics and knowledge of the nature and function of the idea of proof inequality, comprising the bounded sexual of function, the convexity of function, the monotonic of function, the most extreme values, and parity, and summarizes the Elementary Mathematics comparison, synthesis method, analysis, scaling law, mathematical induction, reductio ad absurdum, substitution method and other evidence-based approach, the nature of the function and basic method of proof to prove the combination to solve the problem of inequality from the corresponding case examples to illustrate the method of proof and specific application of these methods。

毕业论文关键词：不等式； 证明； 函数性质； 初等数学

Keywords：Inequality；Proof；Function property；Application

目录

1。 引言 6

1。1不等式证明的历史背景 6

1。2国内外研究现状 6

1。3不等式证明的概述 6

2。不等式的基本性质 7

3。函数的有界性与不等式 7

3。1函数的有界性 7

3。1。1函数有界性的定义 7

3。1。2函数有界性的几何特征 7

3。2利用函数的有界性证明不等式 8

4。函数的凹凸性与不等式 9

4。1凸函数的定义、性质 9

4。1。1凸函数的定义 9

4。1。2凸函数的几种等价定义 9

4。1。3凸函数的性质及定理 9

4。1。4常见的凸函数 10

4。2凸函数的不等式 10

4。2。1琴生（Jensen）不等式 10

4。2。2加权琴生（Jensen）不等式 10

4。2。3赫尔德（Holder）不等式 10

4。2。4阿达马（Hadamard）不等式 10

4。2。5闵可夫斯基（Minkowski）不等式 11

4。3凸函数在不等式中的应用 11

4。3。1利用Jensen不等式证明不等式 11

4。3。2利用加权Jensen不等式证明不等式 12

4。3。3利用Holder不等式证明不等式