解析：通过观察可以发现，可以将不等式左侧的式子 由二元均值不等式转化为 ，再通过整理可以得到该式子等于 ，然后通过柯西不等式转化为

  最后得到的 取值范围是 

例2。（见文[3]）若实数 成等差数列，实数 成等比数列，求 的取值范围。

解析：由等差、等比数列的性质知 ，所求的式子就可以用 

进行代换 

接下来要分情况讨论 ， （1）当 时，有 ，

        ，当且仅当 时，取等号

     （2）当 时，有 

         ，当且仅当 时，取等号

      综上： 的取值范围是 。

将题目中的已知条件进行转化，合并出新元或者转化为能够运用基本不等式放缩消元的形式。求取值范围时特别要注意使用基本不等式的条件。

3。2  比较大小

函数问题中经常会出现比较大小这类问题，如果仅仅根据函数的性质使用减或除的方法解决起来会比较麻烦，过程也比较繁琐。如果在其中运用基本不等式，那么解题的过程就会简化很多。

例3。（见文[4]）已知函数 ，若 ，判断 与 的大小，并加以证明。

解析： 

由基本不等式，得 （当且仅当 时，等号成立）

当 时，有 

即   （当且仅当 时，等号成立）

当 时，有 

即   （当且仅当 时，等号成立）

3。3  求最值

求最值问题中，普遍用到的方法就是基本不等式的运用。首先肯定需要观察题目中的式子是否可以通过变形运用到基本不等式，此类问题一般都需要进行一些转化，不会是基本不等式的直接运用。

例4。 已知实数 满足 ， ，试确定 的最大值。来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

解析：由已知得 ，

由柯西不等式知 

故 ，解得 当且仅当 时， 取最大值 。

例5。 已知实数 满足 ，求 的最小值。

解析：由柯西不等式得，

 ，

因为 ，所以  ，

当且仅当 ，即 时，等号成立，

所以 的最小值为 。

例6。（见文[4]）求函数 的最小值。

解析：   当且仅当 即 时，取等号

       故函数 的最小值为 

利用基本不等式求最值应满足三个条件，第一，一正：各项或各因式均为正数;第二，二定：和或积为定值；第三，三相等：各项或各因式能取到使等号成立的值。关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值。条件最值的求解通常有两种方法：一是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的例子，然后利用基本不等式求解最值；二是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为求函数的最值。

3。4  证明不等式

证明不等式是运用基本不等式的常见题型，题目本身就是不等式，肯定不可能是基本不等式的直接运用，此时就需要将基本不等式进行变形，再将题目中的式子转化为相类似的式子，最后运用基本不等式得出证明。