从[6-7]中了解到，微分包含理论大约产生于二十世纪五、六十年代,微分包含作为常微分方程概念的自然推广，其一般形式为 ,其中 是未知函数，r是一个集值函数．对微分包含的最早的研究，始于20世纪30年代中期在有限维空间中，研究了带凸值右端项的微分包含的解的存在性和解集的性质．在描述物理、力学、工程、微观经济学等方面的系统模型时一般都是使用确定的模型即微分方程。但在现实生活及科学实践中，通常确定的模型已经不适合描述某些动态系统，有足够的正则性质，就可以把微分包含的解与微分方程的解紧密的联系起来。微分包含正是基于对系统过程有一定的了解但不完全确定而建立起来的动力系统，用于揭示不确定动力系统以及不连续动力系统的规律。文献综述

微分包含的初值问题是微分包含理论最早的研究对象之一。文献[8-9]中可知，二十世纪六、七十年代，苏联和东欧的一些学者相继投入微分包含的研究，取得了一大批优秀成果。在研究微分包含解的存在性问题时，把微分包含分成带有凸右端和非凸右端两大类，当微分包含有上半连续凸值右端时，则解的存在性可以归结为寻找集值映射的不动点问题，对于具有非凸右端微分包含的Cauchy问题，Filippov解决了当关于两个变量连续时解的存在性，证明了下半连续非凸微分包含的解的存在性。

2013年，Bashir Ahmad研究了带有边值条件的分数阶微分方程：

文献[10]利用Guo-Kraselskii不动点定理，研究了带有边值的分数阶微分方程 的正解的存在性。

 受文献[10]的启发，本文研究如下带有边值条件的分数阶微分包含问题：

本文的主要目的是将文献[10]的结果扩展到多值情形。结果包含非线性项是凸和非凸2种情形。利用多值映射的不动点定理，研究带有边值条件的分数阶微分包含式式 的解的存在性。

1。2  预备知识

基于分数阶微分方程理论和多值映射理论，方便起见先给出证明所用的一些常规记号。对于赋范空间 ，令  。对于每个 ，定义 的选择集合为   。 是由赋范空间 引进的度量空间。

考虑 定义如下：来*自~优|尔^论:文+网www.youerw.com +QQ752018766*

  显然， 是一个广义度连量空间。

    令 为带有非空紧值的多值映射，定义与 有关的一个多值算子：

      ， 

 下面给出在证明过程中起关键作用的4个引理。

 引理 （Kakutani映射的非线性选择定理）令 是Banach空间， 是 的一个闭凸子集， 是 的一个开子集，且 。若 是上半连续紧的映射，其中 表示一族非空紧凸子集，则 在 中或者存在一个不动点，或者存在一个 及 ，使得 

 引理  令 是Banach空间，设 是 -Carathedory多值映射，且 是由 到 的线性连续映射，则算子

 ， 

是 中的一个闭图算子。

 引理  令 是一个可分的度量空间， 是一个多值算子，满足 是下半连续且有非空的可分解值，则 存在一个连续选择，即存在一个连续单值函数 ，使得对每个 有 

 引理  令 是一个完备的度量空间。若 是一个压缩映射，则不动点集