摘 要：本文主要介绍了辅助函数在高等数学中的构造方法，并结合实例探讨了辅助函数在数学解题中的应用。

毕业论文关键词：辅助函数，构造函数法，常微分方程，中值定理  74782

Abstract: In this paper, we mainly introduced the construction of function of auxiliary function in advanced mathematics,and discussed the application of auxiliary function in mathematical problem for solving with examples。 

Keywords: auxiliary function, construction of function, ordinary differential equations, mean value theorem 

目   录

1 前言 3

  2 辅助函数的构造方法 3

  2。1 直接观察法 3

2。2 几何直观法 4

  2。3 逆推法 5

  2。4 几何意义法 6

  2。5 三点定抛物线法 7

  2。6 常数 值法 7 

  2。7 恒等变形法 9

  2。8 行列式法10

  2。9 微分方程法12

  2。10 泰勒公式法 12

  3 辅助函数在高等数学中的应用14

  3。1 在不等式中的应用14

  3。2 在中值定理中的应用15

  4 结论17

  参考文献18

  致谢19

1 前言

在数学证明过程中,我们经常会遇到许多困惑,可能是因为我们的思路和运用的方法出现了偏差,需要换个方向思考。这个时候,假如试着去构造一个函数,再结合相关定理进行分析,往往就能成功地解决问题。然而,怎样才能构造出正确的辅助函数呢？这才是解决问题的关键之处。辅助函数的构造需要进行各种各样的尝试,最终才能得到我们想要的。

在高等数学中,有很多问题都需要通过构造辅助函数才能解决。数学问题的解决过程,是实现从结论到条件、从未知到已知的转化过程。在这个转化过程中,经常会不可避免地遇到一些的障碍[1]。

在高等数学的解题中较为重要的环节就是辅助函数的构造。它是根据数学问题中的条件去构造的函数,再分析这个函数的特点进行解答。题目中原先的问题才是我们要求的,而通常我们想要达到目的的手段是构造辅助函数,它是解决问题的桥梁,就像几何图形解题中辅助线的作用一样。利用辅助函数解决数学问题,表明不少数学问题从一般化入手更容易得到解决,启发我们从普遍的联系中去发现规律和解决问题的途径。文献综述

本文将对辅助函数的几种常用的构造方法进行归纳总结,并通过实例探究辅助函数在中值定理、不等式问题中的应用．

2 辅助函数的构造方法

2。1 直接观察法[2]

观察是认识事物,发现与解决问题的基石。通过观察法可以构造比较简单的辅助函数,解决表面特征较为明显的数学问题。

    例1  若 , ,证明   

    证  引人辅助函数

 ,

取端点 , 代入得

 , ,

记点  ,  。于是,经过 、 的直线方程为

 ,

猜想  ,要证明猜想成立,通过画图可知,只需证明辅助函数 为凹函数即可。

    由 ,知函数 在 上为凹函数,分别令 则

三式相加得

故原不等式得证。     

2。2 几何直观法

这种方法是通过观察几何图形,然后了解函数之间的关系,最后运用几何知识列出辅助函数[3]。

    例2  设函数 在 上连续,在 内可导,则存在 ,使等式

成立。

    证  如图1所示,直线 方程为