2 中学数学竞赛涉及的函数的定义及性质

 2。1 中学数学竞赛涉及的函数的定义

  1、函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 与 ，如果对于变量 的每一个值，变量 都有唯一的值与它对应，我们称 是 的函数。

  2、一次函数的定义：形如 ( 为常数，且 )的函数叫做一次函数（linear function),其中 是自变量， 是 的函数。  特别的，当 时， ( 为常数， ), 叫做 的正比例函数（direct proportion function)。

  3、二次函数的定义：形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做 的二次函数。

  4、反比例函数的定义：如果两个变量 、 之间的关系可以表示成  ( 为常数， )的形式，那么称 是 的反比例函数。　反比例函数的自变量 的取值范围是不等于0的一切实数。 

  5、幂函数的定义：形如 ( 为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

  6、指数函数的定义：形如 ( ,且 )的函数，叫做指数函数。其中 为自变量， 是不等于1的正的常数。文献综述

  7、对数函数的定义：如果 （ 大于0，且 不等于1）的 次幂等于 ( )，那么数 叫做以 为底 的对数，记作 , 读作以 为底 的对数，其中 叫做对数的底数， 叫做真数。一般地，函数 ，（其中 是常数， 且 不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为 。[1]

2。2中学数学竞赛涉及函数的性质

  1、一次函数：A、单调性： ，单调递增； ，单调递减．

           　    B、奇偶性： ,奇函数； ,非奇非偶。

  2、二次函数：A、对称轴：   

                 B、单调性： ， ,单调递减； ,单调递增。

                            , ,单调递增； ,单调递减。

                   C、奇偶性： ,偶函数； ,非奇非偶。

  3、反比例函数：A、单调性： , ,单调递减； ，单调递减。

                              , ,单调递增； , 单调递增。

                     B、奇偶性：奇函数

  4、幂函数：当 时：A、图像都经过点（1,1）(0,0）；

                       B、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；

                当 时，A、图像都通过点（1,1）；

                          B、图像在区间（0，+∞）上是减函数；

                当 时，A、 的图像是直线 去掉一点（0,1）。

  5、指数函数：A、单调性： ,单调递增； ,单调递减。

                 B、函数图像总是经过点（0,1）

  6、对数函数：A、单调性： 时，为单调增函数，并且上凸。

                            时，函数为单调减函数，并且下凹。

                   B、 函数图像总是通过（1,0）点。[1]

3。中学数学竞赛中函数类题目常见解法

1、分类讨论：在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。