摘  要：三角乘积恒等式是中学数学中的一类比较有趣的恒等式，用中学数学的方法证明这类恒等式是比较困难的。本文首先介绍了复数的基本理论，包括欧拉公式、棣莫弗公式及开方公式。然后收集整理了五种这样的公式，利用1在复数范围内开n次方证明了这些公式，并给出了这些公式应用的例子。75519

毕业论文关 键 词：欧拉公式，复数开方，三角乘积恒等式 

Abstract:Trigonometric identity is one kind of more interesting identities in high school mathematics and it’s pretty difficult to prove this kind of identity with the methods of high school mathematics。 First of all, this thesis introduces the basic theory of complex number, including Euler formula, de Moivre formula and square root formula。 Then the author collects such five formulas and proves them with the use of 1 in the complex number range of N times。 Finally, the examples of these formulas’ application are given in the following chapters。 

Keyword: Euler formula,complex number,trigonometric identical equation

目   录

1 引言 5

2 复数的基本知识 6

2。1 复数 7

2。2 棣美弗公式 8

2。3 欧拉公式 9

2。4 1开n次方 9

3 三角乘积恒等式的证明 10

公式一 11

公式二 12

公式三 13

公式四 13

公式五 14

结  论 15

参 考 文 献 16

1 引言

我们知道，一些特殊角的三角函数值可以轻易计算出来，比 。但是对

一般角的三角函数值呢？例如 ， 等，这些角的函数值就不太容易算出来。更不要说一般角的三角乘积恒等式的计算和证明了。那么有什么好的三角乘积恒等式的计算和证明的方法呢？

高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。高斯发现的复数的三角形式使得复数与三角乘积恒等式紧密联系了起来。论文网

法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。即若n N，则  其中n可以改为整数。并由这个定理推出了它的推论，得出了下面的公式，即

这使得一般角的函数值都可以用复数的形式表现出来。棣莫弗公式使得复数与三角乘积恒等式的关系更加的紧密和更加的具体形象。

瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。欧拉在1748年发现了有名的关系式。即欧拉公式， 。欧拉公式在三角乘积恒等式中不是直接的运用，而是在复数的乘幂和方根的运用。