本文在对以上文献的研究之后,先对微分中值定理进行思考,并对微分中值定理进行了进一步的研究,然后再对罗尔定理与Lagrange定理“中值点”的个数问题作了进一步的探讨,然后再给出高阶导数“中值点”的存在性问题,最后根据上面的结论,对柯西中值定理进行了探讨。“中值点”的个数问题与函数是紧密相连的,对于一般函数的情形而言,其个数问题可能是有限个或不可数个,下面主要决解有限个的情况,其结果是下面的定理。

1。微分中值定理的探讨

罗尔中值定理叙述如下:

        定理1[1]若函数满足下列条件:

        (1)在上连续;

        (2)在内可导;

        (3);

则至少存在一点使得:

Lagrange中值定理叙述如下:

    定理2[1]若函数满足下列条件:

    (1)在上连续;

    (2)在内可导;

则至少存在一点使得:

柯西中值定理叙述如下:

       定理3[1] 函数满足:

       (1)在上都连续;

       (2)在上都可导;

       (3)不同时为零;

       (4);

则存在一点,使得

1。由以上定理可知,微分中值定理的条件是充分不必要条件;如:

(1)函数

对函数进行探讨,可以发现对罗尔中值定理的三个条件都不满足,但可以得出有,此时有。

(2)函数

在上不连续,在内不存在,使得

(3)函数,由此可知在处不可导,在内不存在,使得。

  通过对以上几个函数的分析和探讨,若是把拉格朗日中值定理中的在上连续去掉,只剩下函数在上可导,则结论就可能不一定成立,因为函数在上可导只是说明在连续,但在两个断点处就可能不连续了,所以函数在闭区间上就没有以前函数在闭区间上连续函数的性质了,因此定理就可能不一定成立了。

  例如:可以看出函数在上是连续且可导,却在处不连续,所以在内不存在点,从而使得成立。

  把Lagrange中值定理的条件进行适当的改变,使函数在上是连续且可导,例如函数

从中可以看出来在点是不可导的,但在时,所以可以知道这样变化条件后定理的应用范围是变小了。

2。探讨对于罗尔中值定理的中值点可以有无限多个吗?文献综述

    答案是可能有无限多。

    例如:对于函数

可知在上满足罗尔定理的条件,当时,

当时,,说明定理中的中值点可以有无穷多。

    对以上问题的研究之后,再对罗尔中值定理的条件进行探讨,比如函数在的两端点处,若是不连续,则对两端点处的单侧极限进行考虑,如果两侧的极限存在而且相等,那么定理的结论仍然是成立的。下面再对区间进行考虑，如果是无穷区间的,那么在添加一些条件,就能保证定理结论的成立。

  在微分中值定理中,只是仅仅说明点的存在性,对于其它问题并没有进一步研究。

1。1 罗尔中值定理的进一步认识

对罗尔中值定理认识之后的情况下,思考一些其它问题,可以进行进一步的探讨: 

  定理4[2]设函数在内可导,并且有其中可能为(有限值,或或)则至少存在一点使得。

  证明:(1)反证法,可以设为有限值,假设是不存在一点满足,下面作辅助函数: