摘要本文首先介绍了圆域上波动方程的混合问题，通过极坐标变换，得到极坐标 下方程的等价形式，继而得到形式解，并在这类问题的分离变量法中，得到 Bessel 方程与 Bessel 函数，于此讨论了 Bessel 函数的各种性质，重点讨论了它的零点性 质，独立给出了其中一个性质新的证明。接着对函数的 Fourier-Bessel 展开做了详 细的证明，不加证明地给出了 Sturm-Liouville 定理下这个展开的收敛性的更强的 结论。然后通过演绎法独立得到解存在的几个充分条件，并用能量不等式给出了 解存在条件下的唯一性与稳定性。 最后举了一个例子演示如何求解这类方程。79559

毕业论文关键词 波动方程 Bessel 函数 Sturm-Liouville 问题

Title The research on the well-posedness of solutions of the mixed problem of wave equation on the circular domain

Abstract In this paper, we first introduce the mixed problem of wave equation on circular domain。 We obtained the equation of equivalent form under the polar coordinate by a transformation of polar coordinate。 And then we have the formal solution。 Bessel equation and Bessel functions are obtained in the method of separation of variables for this kind of problem。 We discusses the various properties of Bessel functions, In particular the properties of its zeros。 I give one of the properties a new proof independently。 Then the Fourier-Bessel expansion of the function is proved in detail, and the convergence of this expansion under the Sturm-Liouville theorem is given without proof。 Then, several sufficient boundary conditions are obtained by the deduction method, and the uniqueness and stability of the solution are obtained by using the energy inequality。 Finally, an example is given to demonstrate how to solve this kind of equation。

Keywords wave equation Bessel functions the Sturm-Liouville proble

目 次

1 引言 1

2 单位圆上膜振动方程的混合问题 2

2。1变量分离法求形式解 2

3 Bessel函数 5

3。1n为整数时Bessel方程的通解 5

3。2Bessel函数的递推公式 5

3。3Fourier-Bessel展开 8

4 回到最初的圆域上波动方程的混合问题的形式解 22

4。1演绎法求解 22

4。2一个结论 25

4。3唯一性与稳定性 26

结论 28

致谢 29

参考文献 30

第II页 本科毕业设计说明书

1引言

圆域上波动方程混合问题是数学物理方程中的一个传统问题[1][12]，通常用传统的分离变量法求解，从中可以引出著名的Bessel方程，从而得到一类加权正交的函数系——Bessel函数系。1817年，德国数学家Bessel在研究天文学家开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统提出了Bessel函数的总体理论框架，后来人们就以他的名字命名了这种函数。函数的Fourier-Bessel展开和Fourier展开一样具有广泛的应用，它的重要性早在18世纪初就被人们认识。但是Bessel函数与三角函数的混合二重级数却比较繁琐，在教科书中往往浅尝辄止。本文就是想通过研究Bessel函数，找到形式解的存在性，从而独立找出问题适定性的边条件。