导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题引进的，后来由英国数学家牛顿（Newton，I。）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz，G。W）分别在研究力学和几何学过程中建立起来。众所周知，导数的思想不仅可以使初等数学中的一些复杂的问题得到简化，而且能够“润物细无声”的改变我们思考问题的角度和方式。接下来本文通过几个典型的例题来说明导数的思想在初等数学解题方面的重要作用。

1。1讨论函数的单调性

定义1  设为定义在某个区间上的函数，若对任意，当时，总有（i），则称为上的增函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格增函数；（ii），则称为上的减函数，时，称为上的严格减函数；

    在初等数学中运用该定义可以较为直观明了的解决一些函数单调性的问题，不得不说的是如果函数的表达式相当复杂时确定与的大小关系就会很困难，这时则需要使用一些巧妙灵活的求解方法，一般来说适用面比较小。若运用导数讨论函数单调性则会使问题得到简化。即讨论在区间上的单调性，先求出，然后判断在此区间上的正负，若，在该区间上严格单调递增，反之严格单调递减。

例1 判定函数上的单调性。

解  ，令，得或，令，得，

综上所述，在上单调递增，在上单调递减。

同理,恒成立，故在上单调递增。

对于上述问题若用初等方法讨论则较为复杂，如：对于，

令则故在内单调递增，同理，对与，令，则有:

这时就不能明显判断的单调性了，从这里就可以看出导数在研究函数的单调性方面的优越性。

例2 已知，与，试判断是否存在实数，使得在上为减函数，同时在上为增函数。

解  设存在实数满足题设

令，若，则；当时，，当时，。

当上单调递减，当上单调递增，显然不符合题意，

若，则或，当时，；当时，；当时，；当时，；

所以,的单调递增区间是，单调递减区间是。

假如在上是减函数，且在上是增函数成立，即令，可得，因此存在，此时在上为单调递减函数，同时在上为单调增函数成立。

例3 讨论函数的单调性。

解  ，令，即得；令得，文献综述

所以，的单调递减区间为,单调递增区间为。

    上述问题如果要用初等数学的方法来求解函数的单调性，一般的方法为定义法，首先在定义域内任意选取两点，，然后通过比较和的大小来判断函数的单调性。但该法对于解此类问题显然是行不通的，然而利用导数的观点就会顺利得到解决。

1。2求曲线的切线问题

定义2  设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称在点处可导，并称该极限为函数在点的导数，记作。

导数的几何意义

函数在点的切线斜率，就是割线斜率在时的极限，可写为

由导数的定义，，因此在点处曲线的切线方程为。

所以函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率，如果表示这条切线与轴正方向上的夹角，就有。当时表示切线与轴正向的夹角成锐角；当时表示切线与轴正向的夹角成钝角；当表示切线与轴平行。

例4 写出曲线在处的切线方程。

解  对函数求导得：，当时该函数的斜率为，，因此切线方程可以写为，整理得：。

例5 已知函数，求曲线在点处的切线方程。

解  先对求导得，由导数的几何意义知，在点处该曲线的切线方程是： ，即：。