摘要:在复变函数中,用无穷远点留数相关理论,可以简便地解决积分问题,含无穷远点的柯西积分公式以及其推广形式也有此作用,均可以较大的减少运算量,提高运算速度和精确率,达到了化繁为简，化难为易的效果．且对于定积分计算中思路的扩展有很大的作用,可促进数学分支间的联系和实际问题中积分计算的高效求解,利用无穷远点也可以很好的解决初等几何问题,通过本文的实例可知,做满足条件的变换,初等几何问题可以更简单的解决。82505

毕业论文关键词:无穷远点;积分;几何问题

Points at Infinity And Its Applications

Abstract: In the complex function, using the infinite number of points to stay nature, can solve complex function in a class of integral calculation, including the point at infinity of the Cauchy integral formula and its extension to be solved integral calculation can be larger reduce the amount of computation, improve processing speed and accuracy, to the simplification of complex, anything easy results。 And helps calculate the definite integral in spreading ideas, promote efficient and practical problem solving contact between the branches of mathematics in integral calculation, the use of the point at infinity can also be a good solution to the problem of elementary geometry through text examples can be learned, make the appropriate conversion can be ingenious solution to the problem of elementary geometry。

Keywords: Point at infinity; Integral; Geometry problems

目    录

摘  要。1

引言2

1。预备知识3

2。无穷远点及其应用。4

  2。1利用无穷远点留数求复积分4

  2。2利用留数理论求定积分 5

  2。2。1计算类型的积分。。6

  2。2。2计算类型的积分。。 8

2。3含无穷远点区域的柯西积分公式及其推广。 9

2。3。1解析函数在无穷远点的性态。10

2。3。2含无穷远点区域的柯西积分公式 10

2。4巧用无穷远点证明初等几何问题。 12

小结 14

参考文献 15 

致谢 16

无穷远点及其应用

引言

在解决数学问题时,我们力求找到解决问题的简便算法,较大的减少运算过程的计算量,提高计算速度,节省时间,无穷远点是复变函数中的重难点之一,通过无穷远点留数理论计算定积分,使问题化繁为简,通过无穷远点也可以解决初等几何问题,使证明步骤更简单,本文讨论了无穷远点在定积分中的应用及在几何中的应用。

已有许多文献对无穷远点的应用进行了研究,文献[2][3][4][5][6][7]讨论了无穷远点留数在一类积分中的应用,文献[9]讨论了与无穷远点留数相关的一些定理,文献[10]讨论了含无穷远点的柯西积分公式以及相应的推广形式。

定积分的计算是数学计算中的难点之一,我们学过可以运用牛顿-莱布尼茨公式,但对于复杂的积分计算是行不通的,本文给出了通过无穷远点留数的一些定理来进行求解一类定积分计算,使得计算化繁为简,大大的减少了计算量,应用含无穷远点的柯西积分公式也可以简化计算,此外在欧式平面中引用无穷远点可使平面中的点和线有一种对应关系,更巧妙的处理了点线问题,降低了繁琐的计算过程。

1。预备知识

定义1。1   设为函数的孤立奇点,在内解析,那么称为是在点的留数,记, 指顺时针方向。

设在内的洛朗展式为

由逐项积分定理可知,