集合的基数求有穷集的基数的计算公式
Cardinal Number of a Set
Abstract: Firstly, this paper introduces the related concept of the set and its cardinality. Secondly, provides some methods of studying cardinality of a set, discusses the cardinality of some special sets.Finally, summarizes the formula of seeking a finite set and the means of judging a denumerable set and a no denumerable set, and describes some application of cardinality.
Key words: Set; Cardinality; Denumerable Set
目 录
摘 要 1
引言 2
1.集合及基数的概念 3
1.1 自然数集 3
1.2 对等与基数 3
2.集合的基数 4
2.1 有限集的基数 4
2.2无限集的基数 5
3.基数的应用 9
3.1 基数的计算公式 9
3.2基数的应用 10
3.3康托—伯恩斯坦定理 12
结束语 13
参考文献 14
致谢 15
集合的基数 引言
集合论是现代数学中重要的基础理论，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础．康托尔在讨论最起初的集合论时, 最初引入了基数的概念．由于集合论的方法与概念已经渗透到很多学科，如拓扑、分析及代数等数学分支和质点力学与物理学等自然科学学科，并为这些学科提供了一些基本的方法．在集合的研究中关于集合元素“个数”的讨论，即对基数的概念的研究颇多，这凸显了基数的概念在集合论中的重要地位．
在研究集合论时，人们往往非常关注集合含有元素的个数．迄今为止，有很多关于基数的文章，他们对集合的基数的求法及应用都有所讨论，但仍有不足之处．例如，文献[3]中缺乏对集合基数应用的讨论．文献[4]中对集合的基数的讨论不具代表性，它取的集合仅限于由含200个元素的一列数经高斯取整得到的集合．本文在所参考的文献的基础上，对基数的求法及应用进行了详细的归纳与总结，具有一定的理论意义和实践价值．
1.集合及基数的概念
1.1 自然数集
定义1.1.1 我们称紧跟在自然数 之后的那个自然数为 的后继，记为 ．
定义1.1.2 自然数可以用空集和后继 定义为集合，表示为 , , ．
1.2 对等与基数
定义1.2.1 假设 是两个集合，且都不为空集，若存在一个法则 ，使得对于任意 ，在 中都有唯一的 与之相对应，则称 为从 到 的一个映射，记作：
当映射 使 和 对应时， 称为 在映射下 的像，记作 ，也可表示为：
对每一个确定的 ，称满足 的所有 是 在映射 之下的原像．集合 称为这个映射 的定义域．假设 为 的一个子集， 的所有元素的像的集合称作集合 在 之下的像，记为 ．映射 的值域记为 ．
定义1.2.2 设 和 是两个非空集合，若存在从集合 到 上的一一映射 ，即满足：
(1)单射：对任意 ,若 ,则 ；
(2)双射：对任意 ,存在 ,使得 ．
则称 和 对等，记为 .规定 ．
例1.1 由所有正奇数组成的集合和由所有正偶数组成的合对等．
证 正奇数集与正偶数集均为非空集合，对任意的 属于正奇数集，存在唯一的 属于正偶数集；对于任意的 属于正偶数集，存在唯一的 属于正奇数集，使得 ．即存在从正奇数集到正偶数集的一个一一映射 ，所以正奇数集和正偶数集对等．
下一篇：极值和最值问题的多种解法