2。1。2第二类

如这类型的级数，用其它常用的方法很难进行求和运算，因为的系数的分子是等差数列前面项的和，并且分母是公差的次幂和的乘积，要逐项求导就需要次才能把约掉，但是这样相当复杂，还不能顺利进行求和，所以我们想办法求出所给级数在收敛域内代表的可微函数能满足的微分方程，并且，这个微分方程的阶数越低越好。

其实，用对它逐项微分可以得出，文献综述

这表明了所给无穷级数表示函数可以满足一阶微分方程

解次微分方程要知道就可求得

即对某些无穷级数，用这种方法还是很有效的，如对无穷级数和求和时只要让，，就能得出和的微分方程，，最后再分别求得与即可。

2。1。3方法总结

通过对例题进行求解后，我们可以观察到这类级数的通项中的指数和常数有着某种关系，对它们各阶求导之后能得到一个微分方程，再通过对微分方程求解就能得出级数的和。

2。2 幂级数求和的矩阵法

2。2。1第一类

使用矩阵工具求得以组合数作系数的幂级数求和公式，和多项式作系数的幂级数求和方法。

设是的次多项式，对于幂级数，这时我们使用矩阵法对这类幂级数的求和。[4]

容易知道若阶矩阵，则（2）若阶矩阵，，

则（3）可以验证以下关系式：

（4）其中右面第二个下三角矩阵是这样构成的：

如第行元素已知，则把它看作一个形式上的位数，和形式上的二位数位按位相乘再按位相加（不进位），即

第行元素来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

结果就是行元素。

现在考虑幂级数求和问题。由（2）知（5）

另一方面，因为，所以。命，则由（3）知 

因为，所以。又因为是有关的多项式，由洛必达法则知。那么上式右边第一个矩阵，当时变为单位矩阵，所以

（6）

比较（5），（6）两式右边的矩阵可以得到一组以组合数为系数的幂级数求和公式：