图1在图1的复平面上，我们可以看到实数轴非负方向到不为零的复数且与向量之间的夹角，同它一样的角我们称之为复数的辐角，记作。 

需要讨论：当时，辐角没有意义。

当时，需要注意的是角都具有周期性。所以，对于任意一个不为零的复数都有无数个辐角。确定辐角的一个特定值用表示，当符合条件的一个就是的主值。于是。则有（如图2）

由上面可得，不管主值如何取，都有   文献综述

综上讨论知辐角是具有多值性的。同理，极坐标系下复数，为的辐角。那么所有初等函数都可以表示为            （2）

2。初等多值函数及其多值解析性

由定义[1]，和(1-2)式可以看出,与 所代表的是什么函数,前者是一个单值函数后者是多值函数。因此多值函数多值的特性和辐角的多值性是密切相关的，辐角的多值性引起了函数的多值性。

规定根式函数为幂函数的反函数。下面我们将重点讨论常见的根式函数和对数函数。在这里我们把根式函数和对数函数放在一起讨论，因为研究它们的变换特性的时候用到的方法是一样的，利用限制辐角、割破平面法，从反函数入手，先讨论幂函数和指数函数的变换特性，从而得到函数的解析性质。了解初等多值函数的变换特性及其单叶性区域和求单值解析分支可参见文献[1-4]。下面给出根式函数、对数函数等的部分结论的获得。

2。1 根式函数与对数函数

2。1。1  分出和的单值解析分支

1。根式函数的映射区域属于一对多，根式函数多值性的原因像前面说的一样还是复数的辐角的周期性导致函数值有一个或无数个。所以，想要分出函数 在复数域上的单值解析分支，通常的做法是引出一条割破平面的割线（可取从到的一条射线）。割破之后的任一单值分支在平面支割线上都不是连续的，因此，当取任意的支割线，所得到的解析分支是随意的。由此知在支割线两边所取的值都不同。在这就不一一举例说明了。

确定根式函数单值解析分支的两个条件：1。支割线的确定；2。初始值的确定。

2。类似于根式函数的讨论： 割破的区域内不包含的支点情况

因此就可以得到的无穷多个而且还是不同的单值连续的分支函数：      （3）

它们也可以记为 ：

  。                             

同样地，根据，亦可验证知：（2-9）在内是解析的，并且有

。

如果我们不割破平面时，类似于对的讨论，可以得到仍只以为支点，仍然是以连接的广义简单曲线（特别是负实轴）为支割线。

2。2 反三角和双曲函数

我们知道对数函数具有多值性，所以，在讨论反三角函数和双曲函数的时候同对数函数的分出单值解析分支的方法和支点确定的方法很类似。但是研究起来困难复杂点。下面用一个例子来说明。

例1 证明不是函数的支点（其中）。来:自[优E尔L论W文W网www.youerw.com +QQ752018766-

证明。易知，点可能是函数的支点；如图3所示，在复平面上，可以任意作一条闭曲线L，使得包含点在其中。

图3

取曲线L上任意一点并分别取定和方便讨论，因此，在点处的值为  , 这个时候，函数解出来的相应值为 当我们选取的动点z从点开始，沿着曲线L按着逆时针的方向运行整整一周后回到点时， 及相应的都增加了，得出函数的值为