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    2 信道编码
    2.1 纠错码基本理论
    2.1.2 纠错码概念
    纠错码(error correcting code),在传输过程中发生错误后能在收端自行发现或纠正的码。仅用来发现错误的码一般常称为检错码。为使一种码具有检错或纠错能力,须对原码字增加多余的码元,以扩大码字之间的差别,即把原码字按某种规则变成有一定剩余度(见信源编码)的码字,并使每个码字的码之间有一定的关系。关系的建立称为编码。码字到达收端后,可以根据编码规则是否满足以判定有无错误。当不能满足时,按一定规则确定错误所在位置并予以纠正。纠错并恢复原码字的过程称为译码。检错码与其他手段结合使用,可以纠错。
    2.1.3 基本原理和性能参数
    纠错码能够检错或纠错,主要是靠码字之间有较大的差别。这可用码字之间的汉明距离d(x,y)来衡量。它的定义为码字x与y之间的对应位取不同值的码元个数。一种纠错码的最小距离d定义为该种码中任两个码字之间的距离的最小值。一种码要能发现e个错误,它的最小距离d应不小于e+1。若要能纠正t个错误,则d应不小于2t+1。一个码字中非零码元的个数,称为此码字的汉明重量。一种码中非零码字的重量的最小值,称为该码的最小重量。对线性码来说,一种码的最小重量与其最小距离在数值上是相等的。
    2.1.4 译码方式的实现
    纠错码实现中最复杂的部分是译码。它是纠错码能否应用的关键。根据式(1),采用的码长n越大,则误码率越小。但n越大,编译码设备也越复杂,且延迟也越大。人们希望找到的译码方法是:误码率随码长n的增加按指数规律下降;译码的复杂程度随码长n的增加接近线性地增加;译码的计算量则与码长 n基本无关。可惜,已经找到的码能满足这样要求的很少。不过由于大规模集成电路的发展,既使应用比较复杂的但性能良好的码,成本也并不太高。因此,纠错码的应用越来越广泛。
    纠错码传输的都是数字信号。这既可用硬件实现,也可用软件实现。前者主要用各种数字电路,主要是采用大规模集成电路。软件实现特别适合计算机通信网等场合。因为这时可以直接利用网中的计算机进行编码和译码,不需要另加专用设备。硬件实现的速度较高,比软件可快几个数量级。
    在传信率一定的情况下,如果采用纠错码提高可靠性,要求信道的传输率增加,带宽加大。因此,纠错码主要用于功率受限制而带宽较大的信道,如卫星、散射等系统中。纠错码还用在一些可靠性要求较高,但设备或器件的可靠性较差,而余量较大的场合,如磁带、磁盘和半导体存储器等。
    在分组码的研究中,谱分析的方法受到人们的重视。纠同步错误码、算术码、不对称码、不等错误纠正码等,也得到较多的研究。
    2.2 信道编码定理
    C.E.仙农在1948年发表在《通信的数学理论》一文中的信道编码定理指出:只要采用适当的纠错码,就可在多类信道上传输消息,其误码率pe可以任意小
                                      (2-1)
    (2-1)式中N为码长,Er(R)为信息率R的函数,与信道有关。当R小于信道容量C时,Er(R)为正值。可惜的是这一定理仅仅指出理论上可以达到的目标,而未能给出构造性的实现方法。自仙农的论文发表以来,人们经过持续不懈的努力已找到多种好码,可以满足许多实用要求。但在理论上,仍存在一些问题未能解决。  
    分组码和卷积码不但可以用来纠正独立错误,而且可以用来恢复删除错误和纠正突发错误。如分组码中有里德-索洛蒙码,法尔码等;卷积码中有岩垂码及扩散卷积码等。
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