(1)科学意义

“矩体”概念的提出,是“矩阵”概念在多维(三维及以上)空间中的非平凡推广(“矩体”包蕴“矩阵”)。本课题若能顺利实施并完成,则有望丰富代数学的内涵,拓展矩阵理论的外延,并形成新的学科增长点。

(2)应用价值

矩体理论可直接应用于彩色数字视频、生物医学彩色数字图像序列、高光谱数据等多维离散(时间)信号的分割、压缩、编码、滤波、特征提取、模式识别中,并可能取得较之现有方法更好的分析、处理、识别结果;另外矩体理论在固体力学的数学表达、求解方法和数值计算方面亦具有较大的应用潜力。

1.1.3  课题对矩阵的推广

本课题旨在对矩阵进行非平凡的推广。若把数类比为“点”,则向量就相当于“线”,而矩阵就相当于“面”。若要进一步推广,从数学的角度而言,自然应该考虑多维(三维及以上)的“体”——此即我们所谓的“矩体”(英文规定为 Cuboid )。

有别于其他对矩阵推广的研究对象和研究目的,本课题所谓的“矩体”,其目标,是为多维(三维及以上)离散信号(譬如,彩色数字视频信号、生物医学彩色图像序列、数字高光谱数据,等等)的表示及处理(譬如,分割、压缩、编码、滤波、特征提取、模式识别,等等)提供新的理论基础和方法技术,以期取得较之现有方法更好的分析、处理和识别的结果,并为力学提供新的分析、计算工具。源]自{优尔^*论\文}网·www.youerw.com/

此外,矩体的运算规则,应具有代数学和几何学意义,并兼容矩阵的运算规则。若用 表示数域 上 阶矩体的全部,则如何定义矩体的加法和乘法运算,使得 关于加法、数乘、乘法成为一个代数(系统),满足矩阵相应运算的性质 ?

若没有实际应用的启迪,不仅定义困难,而且定义出来的运算也难像矩阵理论那样得到广泛应用。若在充分研究应用背景的基础上,成功地建立矩体概念,并对其运算进行系统的研究,则是源头活水的事,无论对数学本身而言,还是对应用领域来说,都将有所裨益。

1.2  矩体的基本概念 

1.1.1  矩体相关的基本定义

目前,我们已经比较熟悉的空间有:标量空间,向量空间,矩阵空间。或许还有一些未被定义的,或未知的空间。由于现引进矩体的概念,故而,对所有这些空间全体,可以笼而统之地称其为矩体空间。

而站在更高一层的角度上,需要一个量来描述不同空间结构之间的差异。在矩阵等分析中,已对维数(dimension)的概念有了明确的定义。维数概念的引入,能够简洁地描述各空间的结构,并清楚地表明其结构间的差异。这里,类似地,引入“度”的概念来标识这些不同的矩体空间,即,希望“度”的概念能给出一种对所有矩体空间的分类准则。

下面,先给出矩体及其构型、度量的定义:

定义 1.2.1  一个矩体(cuboid),可以用一个多维数组(multi-dimensional array)来对应表示。多维数组的型(即为该数组的维数表达式),对应的称为该矩体的构型;多维数组的维数,对应的称为该矩体的度量 。

可以通过实际的例子来理解矩体构型和度量的概念:

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