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（1）直方图均衡化
直方图均衡化是通过对原图像进行某种变换，使原图像的灰度直方图修正为均匀分布的直方图的一种方法。以r和s分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图修正后的图像灰度[15]。即 。在[0,1]区间内的任一个r，设经变换T(r)可产生一个变量s，且s=T(r)
T(r)为变换函数，应满足下列条件：
①在 内为单调递增函数
②在 内有
条件①保证灰度级从黑到白的次序不变，条件②确保映射后的像素灰度在允许的范围内。反变换关系为 。 对s同样满足上述两个条件①和②
由概率论理论可知，如果已知随机变量r的概率密度为 ，而随机变量s是r的函数，则s的概率密度 可以由 求出。假定随机变量s的分布函数用 表示，根据分布函数定义：
（3-1-5）
根据密度函数是分布函数的导数的关系，上式两边对s求导得:
（3-1-6）
从上式（3-1-6）可以看出，通过变换函数T(r)可以控制图像灰度级的概率密度函数，从而改善图像的灰度层次，这就是直方图修正技术的基础。
从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的灰度直方图如果是均匀分布的，即 (归一化后k=1)时，感觉上该图像比较协调。因此要求将原图像进行直方图均衡化，以满足人眼视觉要求的目的。
由归一化假定 。由上式则有 。
两边积分得：
上式（3-1-7）就是所求得的变换函数。它表明当变换函数T(r)是原图像直方图累积分布函数时，能达到直方图均衡化的目的。对于灰度级为离散的数字图像，用频率来代替概率，则变换函数 的离散形式可表示为：
可见,均衡后各像素的灰度值 可直接由原图像的直方图算出。
（2）直方图规定化
为了有选择的增强某个灰度值范围的对比度，以便能够增强图像中某些灰度级，这是可以采用比较灵活地直方图规定化。直方图规定化是使原图像灰度直方图变成规定形状的直方图而对图像作修正的增强方法，也称为直方图匹配。可见，它是对直方图均衡化处理的一种有效的扩展。
假设 和 分别表示已归一化的原图像灰度概率密度函数和希望得到的图像的灰度概率密度函数。首先对原图像进行直方图均衡化处理，即求变换函数：
（3-1-9）
假定已得到了所希望的图像，对它也进行均衡化处理，即 （3-1-10）
它的逆变换是： （3-1-11）
即由均衡化后的灰度级得到希望图像的灰度级。因为对原图像和希望图像都作了均衡化处理，因而 和 具有相同的密度函数。如果我们用原图像均衡得到的灰度级s来代替逆变换中的v，其结果 将为所求的希望图像灰度级。
假定G(s)是单值的，根据上述思想，总结出直方图规定化增强处理的步骤如下：
①对原图像的直方图进行灰度均衡化；
②规定所需要的图像的灰度概率密度函数 ，由式（3-1-10）求得直方图均衡化的变换函数G(z)；
③用步骤①得到的灰度级s作逆变换 。
经过以上处理得到的图像的灰度级分布将具有规定的概率密度函数 的形状。将上述处理过程中包含了两个变换函数 和 简单组合，可以得到一个函数关系即： 。当 时，直方图规定化处理就简化为直方图均衡化处理了。
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