摘要：函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值探讨具有重要意义。为此，本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的一般求法，还讨论了利用拉格朗日乘数法，柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别多元函数极值。55437

毕业论文关键词：函数极值 ， 条件极值 ， 求法

Abstract：The extreme value of function is one of the important contents of mathematics study, so the function extreme problems of the function extreme value has important significance. For this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the normal method, but the use of the Lagrange multiplier method, the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extreme, and the use of directional derivative method.

Key words:  the function extreme value, conditional extreme, methods

目录

1引言…4                    2 一元函数的极值…4

2.1 一元函数的极值的定义…4

2.2一元函数的极值第一充分条件4

2.3 一元函数的极值第二充分条件5

2.4 一元函数的极值第三充分条件…6                         3 二元函数的极值…7

3.1 二元函数极值的定义7

3.2 二元函数取极值的充分条件…7

4 多元函数( )的极值…8

4.1 多元函数极值的定义8

4.2 梯度法求极值…8

4.3海瑟矩阵求极值9

4.4利用方向导数判断多元函数的极值10

5  条件极值…11

5.1代入法求极值…11

5.2拉格朗日乘数法求极值…12

5.3柯西不等式法求极值13

结 论15

参考文献…16

致 谢17

1  引言

函数极值问题在数学学习中是非常重要的一部分，不仅在导数中有所应用，同时研究函数变化形态也必不可少，在微积分研究中也占据重要地位。那到底什么是函数极值呢?

函数极值是一个局部概念，如果一个函数在一点的某一邻域内处处都有确定的值，而以该点的值为最大或最小，则函数在该点处的值就是一个极大或极小值。函数极值问题涉及的函数量比较多，有一元函数，二元函数，多元函数极值或多元函数极值的条件极值，因此，对函数极值的求法做一个比较全面的了解是相当重要的。多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但由于自变量由一个增加到多个，产生了某些新的内容。对于多元函数，文章将先讨论二元函数。在掌握了二元函数的的有关理论与研究方法后，我们可以把它推广到多元函数中去。在求多元函数无条件极值问题时，我们可以根据极值存在的充分条件来判断是否在驻点处取得极值，而在多元函数条件极值问题的求解过程中，我们在使用拉格朗日乘数法求出驻点后，往往根据问题的实际意义判断函数在该点取得极值.

2  一元函数的极值

2.1  一元函数的极值的定义

定义  设函数 在 的某领域 内有定义，如果对于去心邻域  内的任意 ,有   或   ，那么就称 是函数 的一个极大值或极小值。(将 改为<或将 改为>,则称为严格极大值或严格极小值).源.自|优尔,:论`文'网www.youerw.com

2.2  一元函数的极值第一充分条件

设函数 在 处连续且在 的某去心邻域U（ ）内可导.

（1）若  ( ， )时， ，而  ( , )时， ，则 为极大值.

（2）若 ( ， )时， ，而  ( , )时， ,     则 为极小值.