1．3  研究内容及方法 

本文前几节只限于讨论一些可求精确解的问题，最后会使用软件来模拟计算，以获得近似数值解，并与精确解析解相比较。

弹性杆、轴和弦是工程中最基本的构件，例如，战斗机操纵杆、直升机传动轴、高压电线等，可分别简化为杆、轴和弦。本文主要讨论杆和梁的纵向振动，由于它们的运动微分方程形式基本相同，所以可用同样的方法来分析它们的振动。

具体步骤是：首先建立运动微分方程，之后将运动方程写成时间多项式与位置多项式的乘积，利用三角函数的正交性来求解频率，根据不同边界条件来求解相应的振型，绘制振型曲线。最后，根据线性方程的叠加原理，对无限自由度系统求和，得到最终结果。文献综述

对于振动问题的分析，一般都要从建立所要研究的对象的模型开始。先略去一些可以忽略的次要因素，将对象抽象化为力学模型。然后分析各部分的力学特性，及它们之间的组合关系等待。

使用力学原理描述系统运动的数学模型，数学上的形式一般是微分方程组。如何简化模型、建立模型，是进行振动分析的关键步骤。它直接决定了振动分析结果的正确性与精确性，以及振动分析的复杂程度与可行性。具体来说，一个实际振动问题的复杂程度大多取决于需要多少个独立坐标（自由度）才能完备的描述所关心的力学系统。一般的，把系统模型的所有独立坐标个数称作系统自由度。本文所研究的对象——悬臂梁，属于连续系统，具有无数个独立坐标，因而是无限多自由度系统。

梁被广泛的应用于各种建筑之中, 因此梁的振动问题一直是工程中最为关注的热点问题。由于研究对象的用途和工况不同, 在实际工程中要根据实际条件，采用不同类型的梁的模型,当要求不太精确时,一般是采用欧拉-伯努利梁模型,在科学研究中需要一定的精确度的情况下, 就需要采用瑞利梁模型, 但是以上的模型并不能满足最苛刻的精度要求，因此需使用更贴近实际的模型[7]。于是，在现代技术研究中往往使用Timoshenko 梁模型。

对于本文所研究的轴向振动问题，一般使用欧拉-伯努利梁模型[8]。

具体研究过程如下：

1) 利用理论力学、材料力学中建立刚体运动微分方程的知识与振动理论中多自由度系统振动微分方程的知识，通过取微元（分立体）方法，进行分析。取极限来建立悬臂系统的等截面弹性直梁的轴向运动微分方程；源.自/优尔·论\文'网·www.youerw.com/

2) 通过分离变量法将用上述方法建立的运动偏微分方程转化为各自独立的常微分方程（组），然后求解，获得相应的基础解系，确定连续系统的自由振动的固有振型和固有频率；

3) 推导系统固有振型的正交性，或者函数正交性；

4) 利用固有振型的正交性（或函数正交性），将系统振动微分方程（组）解耦，求解出连续系统自由振动与受迫振动的振型。

5）使用matlab软件，结合给定参数，做出悬臂等截面弹性直梁的轴向振动的各阶固有振型曲线图。

下面我们首先探讨工程应用中经常使用的有限自由度系统与理论研究中经常使用的连续系统之间的关系。

2有限自由度系统与连续系统之间的关系

考虑一个弹性材质的梁，一端固定，一端自由，梁的材料是连续的，它的截面积（或圆形或方形或任意形状）是A，总质量是M，梁上任意点的密度p=M/Al，其中l是梁的长度，这里假设材料是均匀的。不然，密度不会是一个常数，而是随着位置变化，图2.1显示了这个梁的离散模型，质量被分到五个块上，两个在端部，三个在中间。两端的两个各占1/8的质量，中间的三个各占1/3质量，并且每个物块的质量集中在物块的中心。