2。1 费马原理

光的直线传播定律最基本的证明方法是费马原理,它是由法国物理学家费马在 1650 年提 出的:光从空间一点 A  到另一点 B, 光沿着所需的时间为极值的路径传播。

如图 2。1 的均匀介质中,光程等于折射率与光所经过的路程的乘积。若记 n 为折射率,s 为沿光的路径的距离,则光程即为 L=ns,图中表示了光沿不同路径传播时的光程。

图 2。1 不同路径的光程

满足极值条件   的路径有且仅有一条,那便是图中代表直线路 径的 L1。由此初步证明了光在均匀介质中沿直线传播[16]。

通过费马原理不仅可以初步证明本文所研究的课题——光在均匀介质中传播时遵从的直 线传播定律,它也能证明几何光学的其他基本定律,如反射定律和折射定律。下面我们通过 证明这两个定律来进一步了解费马原理:

首先我们来证明反射定律。

在下图 2。2 中,假设 A 点是光源,B 点是接收器,它们的坐标分别是 A( x1 ,0, z1

)、B

( x2    ,0, z2 )。平面 z=0 是反射面,P(x,y,0)点是入射点(假设坐标未知)。根据勾股定理,

可以计算光线 APB 的总长度:

R1+R2=  +          (1)

根据费马原理,光程应该最小,于是对于 P 点:

本科毕业设计说明书 第 5  页

n(R1  R2 ) 0

y

n(R1  R2 ) 0

x

将 R1+R2 代入上面第(1)式,得:

y y

n(R1 R2 ) n(

R

) 0

R

y 1 2

(2)

只有 y=0 上式才会成立,因此反射发生在 y=0 平面内,即入射线、法线、反射线在同一 平面内。

将 R1+R2 代入上述第(2)式,得:

n(R R ) n( x x1   x x2 ) 0

x R1 R2

第 6  页 本科毕业设计说明书 

综合上式可得: i  i ' ,即入射角等于反射角。

其次证明折射定律。

在图 2。4 中,假设 A 为光源,B 为接收器,它们的坐标分别是 A( x1 ,0, z1

平面 z=0 是折射面,折射面上下两种介质的折射率分别为 n 和 n' ,P(x,y,0)是光线入射到 折射面的点。

根据勾股定理得,光线 AP 和 PB 的几何长度为:

光线 APB 的光程为:

根据费马原理,光程应该最小,于是对于 P 点:

由前一个式子,得: n y

本科毕业设计说明书 第 7  页

同样,说明光线的折射也发生在 y=0 平面内,即是说入射线、法线和折射线都在同一平 面内。

为了进一步 证明, 我们设入射 角为 i 、折射角为 i'  ,从前面 的微积分可 得: 

图 2。5 光折射平面图

而同时由图 2。5 可知:

综合(1)(2)两式,有:

这个式子便是折射定律第二条:折射角的正弦与入射角的正弦之比与入射角的大小无关,仅 由两种介质的折射率决定。

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