在了解了单目标优化的意义及方法后，我们来看一下多目标优化的研究现状。在现实工程中， 很多问题都是多目标优化问题，需要同时满足两个或者更多的目标要求， 而且要同时满足的多个目标之间往往互相冲突、此消彼长。 因此， 在多目标优化问题中，寻求单一最优解是不现实的， 而是产生一组可选的折中解集， 由决策过程在可选解集中做出最终的选择[10]。64519

工程中经常会遇到在多准则或多设计目标下设计和决策的问题，如果这些目标是相背的，需要找到满足这些目标的最佳设计方案。解决含多目标和多约束的优化问题，即为多目标优化 [11]。通常的做法是根据某效用函数将多目标合成单一目标来进行优化。但大多数情况下，在优化之前这种效用函数是难以确知的。这样为了使决策者深入掌握优化问题的特点，有必要提供多个解以便于作出合理的最终选择。下面给出多目标优化问题的数学描述：

一般多目标优化问题(MOPs)由一组目标函数和相关的一些约束组成，描述如下：

minf(x)=( f_1 (x)， f_2 (x)⋯ f_m (x))                  (1.4)

       g_i (x)≤0，i=1，2，⋯p                        (1.5

   h_j (x)=0，j=1，2，⋯q                      (1.6)

其中，X=(x_1，x_2⋯x_n )是n维向量， X 所在空间叫决策空间f_1 (x)， f_2 (x)⋯ f_m (x)称为目标函数，m维向量( f_1 (x)， f_2 (x)⋯ f_m (x))所在空间称为目标空间(objective space)，决策变量x_i在区间[l_i，u_i ]中取值，i=1，2⋯n。S=∏_(i=1)^n▒[l_i，u_i ] 表示搜索空间，多目标优化问题又称为向量最优化问题，简记为 VOP[12]。

多目标优化方法的研究主要集中在下面几个方面：

1.高效多目标优化方法的研究

    为了得到性能优越的多目标优化方法，一些学者提出了新的思路。例如，2003年Li等人提出了PPGA算法。该算法采用基于超立方体的方法，模拟自然界食肉动物与食草动物间的关系进行演化计算。该方法的显著特点是可以动态的改变种群结构，同时对个体的评价规则可以不止一个(每个捕食者代表的规则可以不同)，而小生境则通过超立方体网格自动实现。不过，寻求高效多目标优化方法的研究还是更多地集中于对已有算法的改进方面。例如，在原有非劣分层遗传算法(NSGA)的基础上，Deb K等人发展了NSGA-II算法。

    2.交互式多目标优化方法的研究

多目标优化问题的优化结果为一非劣解集。要得到众多的非劣解不可避免的需要较大的计算开支。在交互式多目标优化方法中，决策人不断的根据优化结果提炼偏好信息，然后在偏好信息的指导下进行优化。交互式多目标优化方法只搜索决策人关心的区域，因而不仅容易得到决策人满意的优化结果，而且计算开支比较小。决策人的偏好一般用目标期望值，优先次序、效用函数、模糊逻辑等方式表示，但是在实际中要用明确的公式表达决策人的偏好是一件很困难的事情。目前，常用的交互式多目标优化方法有：逐步进行法(STEM)、多目标问题的序贯解法(SEMOP)、Geoffrion法、代理价值权衡法(SWT)等。

3.多目标优化方法收敛性的研究

    目前，多目标优化算法缺乏收敛理论。Rudolph于1998年对两目标组成的简单多目标优化问题的演化算法的收敛性行为进行了分析，以集合间的距离定义解的收敛性，说明具有比例步长均匀变异算子的(1+1)演化策略能以概率1收敛到问题的非劣最优域。但是，Rudolph的分析过程比较复杂，而且中间过程不太清晰，似有疑问，且这种收敛倾向在一般多目标优化问题的推广上具有局限性。