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对任意给定的x∈X，都有唯一确定隶属函数 (x)∈[0,1]与之对应，类似于普通集合，可以将 表示为：
(x)：X→[0,1] (1)
即 (x)从X到[0,1]的映射，唯一确定模糊集合 。
设 为X中模糊集合，对任意的 ∈[0，l]，我们称以 ={x| (x) }为 的 截集，或称A的 水平截集，而集合以 ={ (x)﹥ }称为A的 强截集。
设A和B是X中的模糊集和，记A与B的并为A∪B，A与B的交为A∩B，A的补为 。模糊集合的并、交、补基本运算有下列性质：
a) 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；
b) 结合律：(A∪B)UC=A∪(B∪C)，(A∩B) ∩C=A∩(B∩C)；
c) 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(B∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
1.3.3 模糊关系
定义1 设X，Y都是论域，称R∈F(X×Y)为X到Y的模糊关系。X=Y时，简称R为X上模糊关系。模糊关系对应的矩阵表示叫模糊关系矩阵。
定义2 设R，S都是模糊关系矩阵，R= ，S= ,则R S= 。
是R和S的复合运算关系，当且仅当 = （ ），模糊算子“ ”，和“ ”的分别定义为：
a b=max(a，b)
a b=min(a，b)
定义3 R∈F(U×U)是U上模糊等价关系，当且仅当R满足:
a) 自反性：R(x，x)=1( x∈U)；
b) 对称性：R(x，y)=R(y，x)( x，y∈U)；
c) 传递性：R² R
当R仅满足自反和对称性，则称R为U上模糊相似关系。模糊等价的矩阵表示称模糊等价矩阵，模糊相似关系的矩阵表示称模糊相似矩阵。
模糊关系理论[16,17]是“大多理论和应用基础，以上定义模糊集合间的关系和运算，表明模糊集合间的互相作用。典型集合论中“关系”刻画事物间“精确性”联系，而模糊关系从更深刻意义上表现事物间更宽泛联系。”
1.4 模糊聚类分析理论的发展概况与研究现状
1.4.1 模糊聚类分析理论的发展概况
1965年Zadeh提出模糊集合理论来，模糊集合论经历了快速发展，作为模糊集合论的应用领域之一：模糊聚类，当然在理论上也获得很大进步，并在应用中取得一定成功。“1966年，Bellman等人先提出用模糊集合论处理聚类问题。Ruspini较系统的研究模糊聚类问题，明确表达模糊聚类，并提出数据集合的模糊划分理念。1971年，Tamura提出基于模糊关系的模式分类问题。1973年，Dunn提出硬C―均值聚类法。1980年，Bezdek证明了模糊C―均值算法收敛性，并给出硬C―均值方法与模糊C―均值方法关系。以后Bezdek又从新给出算法收敛性证明。”由于模糊C―均值聚类算法有易于理解、实用性强等优点，使得这种聚类方法是个研究的重要方面之一。
1.4.2 模糊聚类分析理论的研究现状
当前聚类分析研究[15,16]中，主要是在以下几大方面
(1) 在前人深入研究基础上，进行改进，提出新聚类算法；
(2) 对混合数据型样本集聚类方法研究；
(3) 出于FCM算法的较多优点，使该算法一直是被广泛使用的聚类方法；
(4) 聚类方法有效性研究。有效性研究指算法正确、实用、普适性及参数的选取合理性等；
(5) 属性和距离空间拓展。对实际事物的聚类，先是把事物属性抽象出来；“事物通常有两类属性：一类是数值属性，一类是符号属性。对数值属性，在一般距离空间就可直接聚类；而对符号属性，一般距离空间中不可直接迸行聚类，要把符号属性硬化为数值属性再处理”；
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