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2.2 薄板内导波的理论分析
2.2.1 理论模型建立及求解
图2是在自由板内通过斜入射方法产生导波的示意图。板的上下两表面y。和ya为自由表面。在板的某点处激发超声波，当波传播到板的上、下界面时，会发生波型转换，距探头一定距离后，各种波不再清晰可辨而是叠加成“波包”。对某种特定情况，即给定入射角、厚度d及材料特性，超声波在板内将发生相长干涉，形成某种模式的导波在板内传播。根据弹性力学中的相关理论，此时板中质点的位移和应力满足式(1)表示的运动方程(采用笛卡儿张量符号表示)和式(2)表示的零应力边界条件：
(i，j=1，2，3)
式中：岸为剪切模量；λ为板的Lame常数；u为位移分量；ρ为密度；f为体力；σ为应力。
铝板是各向同性板，对于平面应变问题，根据Helmoholtz分解原理，对式(1)和式(2)进行求解，得到铝板中导波的解，如式(3)和式(4)，这也就是著名的Rayleigh—Lamb方程。采用二分迭代法求解式(3)和式(4)，得出铝板中导波的相速度频散曲线，如图1。群速度 由式(5)得出。
对称模式 (3)
反对称模式 (4)
群速度 (5)
式中： ；k为兰姆波波数；w为角频率；h为板厚的1/2。
2.2.2 波结构分析
在用频散曲线选择最佳检测点时，对各模式的波结构分析是很重要的一步。自由各向同性板中导波(Lamb波)的位移分布表达式为
式中：z为质点到板中心面的距离； 为对称模式离面位移； 为反对称模式离面位移； 为对称模式面内位移； 为反对称模式面内位移；A，B为任意常数； ， 为纵波波数； ， 为横波波数。
给定模式和频厚积，求解式(6)，绘出相应的波结构图形。以SO和A0模式为例，其波结构如图3所示。
从图3可以看出，当频厚积 为1.5 MHz•mm时，对S0式来说，在板的表面面内位移分量比较大，离面位移相对较小；对A0式来说，则离面位移分量比面内位移分量大。
2.3 导波的模式选择
根据上述的理论分析，频散曲线上各点对应的导波对缺陷有不同的检测灵敏度。检测大型薄板时，首先应尽量选取频散现象相对较小的模式，通常选取群速度的极大值点，这样当传播距离比较远时，波包相对变化比较小，容易提取峰值点和确定缺陷位置；其次，对于不同的缺陷，根据不同的波结构选择对被测缺陷比较敏感的模式。如为板内缺陷，应选择面内位移分量比较大的模式；若为表面缺陷，则应选择离面位移分量比较大的模式。当被检结构缺陷情况复杂时，有时候需要使用多种模式对材料结构的不同缺陷进行检测。
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