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3.2 线性二次最优控制问题的提出
给定线性时变系统的状态方程为： （3.1）
其中， 是n文的状态向量，u(t)是r文的控制向量，y(t)是m文的输出向量，且 。A(t)、B(t)、C(t)分别是n n、n r和m n文的时变矩阵、增益矩阵和输出矩阵。
假设控制向量u(t)不受限制，误差向量为： （3.2）
其中， 为期望输出。
二次型最优控制要解决的问题是，找出最优控制u*(t)，使二次型性能指标
（3.3）
最小。这就是LQR问题。
上式中，F为 文半正定常数矩阵，Q(t)为 文半正定时变矩阵，R(t)为 文正定时变矩阵。
上式中，各项都有明确的物理意义。
（1）积分号中被积第一项 为状态转移过程中衡量系统误差大小的代价函数，用它来限制控制过程的误差 ，以保证系统响应具有适当的快速性。反映了系统的动态响应性能。
（2）被积第二项 为状态转移中衡量控制功率大小的代价函数，用它来限制 的幅值及平滑性，以保证系统安全运行，同时，它对限制控制过程的能源消耗也起到重要作用。反映了对控制的约束。
（3）而性能指标中最前面一项 为终端代价函数，用它来限制终端误差 ，以保证终端状态具有适当的准确性。反映了系统的稳态精度。
综上所述，二次型性能指标的物理意义可以表述为：用尽可能小的控制能量，来保持尽量小的输出误差，以达到控制能量和输出误差综合最优的目的。
系数矩阵F、Q、R的选取对二次型性能指标的取值、特别是对各个误差分量和控制分量的影响至关重要。如果要提高与该元素对应的状态分量的终端准确性，可以提高矩阵F中某一元素的比重；如果要加快系统的响应，或增强系统抗干扰能力，可增大加权矩阵Q（t）中某一元素的比重；若要抑制控制量的幅值及能量消耗，则可增大加权矩阵R（t）中某一元素的比重[2]。线性二次型最优控制问题一般可以分为如下三类：
（1）状态调节器
此时有C(t)=I为单位矩阵， ，即有 。问题归结为用不大的控制能量，使系统状态 保持在零值附近。
（2）输出调节器
此时有 ，则 。问题归结为用不大的控制能量，使系统输出 保持在零值附近。
（3）跟踪问题
此时 ，则 。问题归结为用不大的控制量，使系统输出 紧紧跟随 的变化。
这三种类型中，状态调节器问题是最基本的线性二次型最优控制问题，输出调节器和跟踪问题均可视为状态调节器问题的扩展。
3.3 线性二次最优控制基本原理
如果系统是线性的，性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则把这种动态系统的最优控制问题称为线性二次型最优控制问题，简称线性二次型问题。线性二次型问题的最优解可以用统一的解析式表示，且可得到一个简单的线性状态反馈控制律而构成闭环最优控制，这对最优控制在工程应用中的实现具有十分重要的意义。同时，线性二次型问题还可以兼顾系统性能指标（例如快速性、准确性、稳定性和灵敏度等）的多方面因素。因此，线性二次型问题受到重视和得到相应发展，成为现代控制理论及应用中最重要的成果之一。
线性二次型最优控制问题与一般的最优控制问题相比，有两个明显的特点：其一，它所研究的是多输入—多输出动态系统的最优控制问题，其中也包括了作为特例的单输入—单输出的情形；其二，它研究的系统性能指标带有综合性、灵活性和实用性。
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