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B1 B2n−2
= sin ∠OB1Q = sin(⋅ 90°) .
nA1 A2
即,正 n 边形 B1 B2
⎛n−2⎞
⋅ ⋅ ⋅ Bn 与正 n 边形 A1 A2 ⋅ ⋅ ⋅ An 的相似比为 sin ⎜⋅ 90° ⎟ .
⎝n⎠
m
由此类推,第 m 次得到的正 n 边形与原正 n 边形的相似比为 sin
⎛n−2⎞
⋅ 90° ⎟ .⎜
⎝n⎠
n
边形的面积之比为
猜想:任意
n
边形(
n
=3,4,5, … ) 其 第,
m
个中点
n
边形与原
⎛n−2⎞
sin 2 m ⎜⋅ 90° ⎟ ( m =1,2,3…£©.
⎝n⎠
分析与疑问:由结论 1¡¢½áÂÛ 2 可知,当 n =3 ,n =4 时猜想都成立. 假设 n
= k (k ≥ 3 且 k 为整数)
时猜想也成立;那么,如何由“当 n
⎛k −2⎞
= k 时的面积之比 sin 2 m ⎜⋅ 90° ⎟ ”证得“当 n = k + 1 时,
⎝k⎠
有无其他方法证得“猜想”成立?这“猜想”到底成不成立?
面积之比为 sin
2m
⎡ (k + 1) − 2⎤
⋅ 90°⎥ ”?
⎢ k +1⎣⎦
还是对于一般多边形另有其它结论?在此恳请各位同仁发表自己独到的见解!
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