GARCH模型深圳综合指数收益率分布研究(4)
2.2.1 ARCH模型
ARCH(条件异方差)模型在1982年的由恩格尔(.REngel)建立，该模型是指:如果一个平稳随机变量x能够按AR（p）方式给出，那么它的随机误差项中的方差就能够使用差值二次方的q阶滞后模型描述，
（1）
（2）
则称 是q次的ARCH过程，表示成ARCH(q)。这里面（1）式是平均值的方程函数，（2）式是我们需要研究得到的ARCH方程函数。
2.2.2 GARCH模型
（2）式是用来描述方差的分布滞后模型。那么想要 的滞后项减少，就可以把 这一滞后的量加进去，那么（2）式可以变成：
（3）
此模型称为广义自回归条件异方差模型,表示成GARCH(1,1)。
GARCH分布模型是ARCH模型的阶数延展成无穷时的情况。
GARCH分布模型的方程里ARCH项的量为q，GARCH的量为p，所以表示成GARCH（p，q），这样一来， 可以用下式来表示：
（4）
2.2.3 EGARCH模型
我们研究股票市场交易体系时就能看出，当股票的价格下跌与上升的幅度相等相时，股票价格下跌常有比较强烈的波动性。对于这种现象，我们将使用EGARCH模型来加以说明。EGARCH分布模式在1991年时被尼尔森(Nelson)建立，它的特点是一种非对称模型，数学表达式为:
（5）
此模型的特殊之处在于， 的值总为正。这是由于该式的左边数学含义对 取对数，这样一来该式右边的正负对反对数 的正负是不影响的。
该模型比一般的GARCH模型优秀的地方是该模型能够区分出正、负两种新加的信息对结果的干扰差别。正值的新添加的信息代表处于利好消息的情形，负值的新添加的信息代表处于利坏消息的情形。它们的数值相同， EGARCH模型能用来区分它们所造成的不同影响。
2.2.4 TGARCH 模型
还有一类非对称的GARCH模型称为TGARCH模型，该模型方差的表达式函数是:
（6）
该式中，
如果 比零大那么代表现在处于利好消息的情况， 比零小代表现在处于利坏消息的情况。该模型下，利好和利坏消息对条件方差的影响是不一样的。处于利好的情况时, 波动的平方项的系数是 。处于利坏的情况时, 波动的平方项的系数是 + 。如果γ为零，条件方差对冲击的反应是对称的,当γ≠0时,条件方差对冲击的反应是非对称的,其中存在显著的杠杆效应。
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