2.1 有限元分析方法概述

有限元法是一种离散化的数值解法,是用于求解各类实际工程问题的方法。应力分析中稳态的、瞬态的、线性的、非线性的问题及热力学、流体力学、电磁学以及高速冲击动力学问题都可以通过有限元法得到解决。

有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力，随着计算机技术的快速发展和普及，有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。

20 世纪 60 年代初首次提出结构力学计算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地将其描绘为：“有限元法=Rayleigh Ritz 法＋分片函数”，即有限元法是 Rayleigh Ritz 法的一种局部化情况 。不同于求解（往往是困难的）满足整个定义域边界条件的允许函数的 RayleighRitz 法，有限元法将函数定义在简单几何形状（如二维问题中的三角形或任意四边形）的单元域上（分片函数），且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法的原因之一。

2.2 有限元分析的基本思想

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本思想是用较为简单的问题代替比较复杂的问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互联子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解，然后推导求解这个域的满足条件（如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所替代。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂情况，因而有限元分析成为行之有效的工程分析手段。

有限元法的基本思想可归结为两个方面，一是离散，二是分片插值。

离散就是将一个连续的求解域人为地划分为一定数量的单元，单元又称网格，单元之的连接点称为节点，单元间的相互作用只能通过节点传递，通过离散，一个连续体便分割为由有限数量单元组成的组合体。离散的目的就是将原来具有无限自由度的连续变量微分方程和边界转换条件转换为只包含有限个节点变量的代数方程组，以利于用计算机求解。 

有限元法的离散思想借鉴于差分法，但做了适当改进。首先，差分法是对计算对象的微分方程和边界条件进行离散，而有限元法是对计算对象的物理模型本身进行离散，即使该物理模型的微分方程尚不能列出，但离散过程依然能够进行。其次，有限元法的单元形状并不限于规则网格，各个单元的形状和大小也并不要求一样，因此在处理具有复杂几何形状和边界条件以及在处理具有像应力集中这样的局部特性时，有限元法的适应性更强，离散精度更高。 

变分法是在整个求解域用一个统一的试探函数逼近真实函数，当真实函数性态在求解域内趋于一致时，这种处理是合理的。但如果真实函数的性态很复杂，再用统一的试探函数就很难得到较高的逼近精度，或者说要得到较高的精度就需要阶次很高的试探函数。同时由于不能在求解域的不同部位对试探函数提出不同的精度要求，往往由于局部精度的要求问题的求解很困难。所以这类方法一般用于求解函数交规则和边界条件较简单的问题。 

分片插值的思想是有限元法与里兹法的一个重要区别，它是针对每一个单元选择试探函数（也称插值函数），积分计算也是在单元内完成。由于单元形状简单，所以容易满足边界条件，且用低阶多项式就可获得整个区域的适当精度。对于整个求解域而言，只要试探函数满足一定条件，当单元尺寸缩小时，有限元就能收敛于实际的精确解。