二自由度提升装置的设计+文献综述(4)
一个机械系统，从初始的几何模型，到动力学模型的建立，经过对模型的数值求解，最后得到分析结果，其流程如图 4-1 所示[6]。
图4-1 为计算多体系统动力学建模与求解一般过程
计算多体系统动力学分析的整个流程，主要包括建模和求解两个阶段。建模分为物理建模和数学建模，物理建模是指由几何模型建立物理模型，数学建模是指从物理模型生成数学模型。几何模型可以由动力学分析系统几何造型模块所建造，或者从通用几何造型软件导入。对几何模型施加运动学约束、驱动约束、力元和外力或外力矩等物理模型要素，形成表达系统力学特性的物理模型。物理建模过程中，有时候需要根据运动学约束和初始位置条件对几何模型进行装配。由物理模型，采用笛卡尔坐标或拉格朗日坐标建模方法，应用自动建模技术，组装系统运动方程中的各系数矩阵，得到系统数学模型。对系统数学模型，根据情况应用求解器中的运动学、动力学、静平衡或逆向动力学分析算法，迭代求解，得到所需的分析结果。联系设计目标，对求解结果再进行分析，从而反馈到物理建模过程，或者几何模型的选择，如此反复，直到得到最优的设计结果。
在建模和求解过程中，涉及到几种类型的运算和求解。首先是物理建模过程中的几何模型装配，图4-1中称为“初始条件计算”，这是根据运动学约束和初始位置条件进行的，是非线性方程的求解问题；再就是数学建模，是系统运动方程中的各系数矩阵自动组装过程，涉及大型矩阵的填充和组装问题；最后是数值求解，包括多种类型的分析计算，如运动学分析、动力学分析、静平衡分析、逆向动力学分析等。运动学分析是非线性的位置方程和线性的速度、加速度方程的求解，动力学分析是二阶微分方程或二阶微分方程和代数方程混合问题的求解，静平衡分析从理论上讲是一个线性方程组的求解问题，但实际上往往采用能量的方法，逆向动力学分析是一个线性代数方程组求解问题，这里面，最复杂的是动力学微分代数方程的求解问题，它是多体系统动力学的核心问题。
4.2 多体系统数学建模理论及计算方法
对于多刚体系统，从二十世纪优尔十年代到八十年代，在航天和机械两个领域形成了两类不同的数学建模方法，分别称为拉格朗日方法和笛卡尔方法；二十世纪九十年代，在笛卡尔方法的基础上又形成了完全笛卡尔方法。这几种建模方法的主要区别在于对刚体位形描述的不同。
航天领域形成的拉格朗日方法，是一种相对坐标方法，以 Roberson-Wittenburg 方法为代表，是以系统每个铰的一对邻接刚体为单元，以一个刚体为参考物，另一个刚体相对该刚体的位置由铰的广义坐标（又称拉格朗日坐标）来描述，广义坐标通常为邻接刚体之间的相对转角或位移。这样开环系统的位置完全可由所有铰的拉格朗日坐标阵 所确定。其动力学方程的形式为拉格朗日坐标阵的二阶微分方程组，即
这种形式首先在解决拓扑为树的航天器问题时推出。其优点是方程个数最少，树系统的坐标数等于系统自由度，而且动力学方程易转化为常微分方程组（ODE-Ordinary Differential Equations）。但方程呈严重非线性，为使方程具有程式化与通用性，在矩阵 A与B 中常常包含描述系统拓扑的信息，其形式相当复杂，而且在选择广义坐标时需人为干预，不利于计算机自动建模。不过目前对于多体系统动力学的研究比较深入，现在有几种应用软件采用拉格朗日的方法也取得了较好的效果。
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