3。2 有限元分析静力学分析基本理论

3。2。1 线弹性有限元静力学分析过程

（1）根据虚功原理，我们能建立单元节点力和单元节点位移的函数关系，即

其中: 是单元节点力列阵,单元刚度矩阵, 为单元节点位移列阵；

（2）我们可以按照静力等效原则把每个单元所受的载荷向节点移置，并且求和，来得结构的等效节点载荷列阵；

（3）根据每个节点的相关单元组集结构的总刚度矩阵，建立整个结构的平衡方程：

（3。2）

这个平衡方程是一个线性的方程组，它方程的个数和结构的自由度数相等，即结构的节点数乘以节点的自由度数。在引入结构约束信息，消除了结构总刚度矩阵的奇异性后，就可以由该线性方程组来解出未知的节点位移；论文网

（4）我们根据已知的节点位移，来计算各个单元之间的应力。在这整个过程当中，此次计算最困难的地方就在于我它线性方程的求解。这是本次计算的要点也是难点所在。因为对于一个非常复杂的结构来说的话，它的离散单元和节点数目通常都是10几万，更多的具有上百万。所以这对于我们个人计算机的硬件就会有很高的要求，如果你的计算机硬件不达标将无法进行计算。

3。2。2 有限元结构离散化

作为空间3D实体离散化模型有很多种类，比如四面体，三棱柱，六面体等都可以做为单元模型，连接相邻单元的节点有铰接和其他一些连接方式组成。节点的位置除去在单元的角点以为，节点的位置可以分布在各个棱边的中间。上述单元中，我们在平常的生产生活中最常用的就是节点为铰接形式的四个节点的四面体单元，六节点单元和具有20个节点等的参数单元。

3。2。3 单元的位移模式

设单元具有d个铰结结点，则其位移模式的普遍形式为:

（u,v,w）(3。3）或（3。4）其中

这里I为三阶单位矩阵，即

是单元位移模式的插值基函数，也称为形函数；对于规整单元，它是x，y，z的函数;对于等参数单元，它是自然坐标的函数;同时兼作坐标变换式的插值基函数。求解的公式，即

这里的为不通过结点i而通过所有其它结点的一组（m个）代数曲面。应用公式（3-7）时，对于四面体，宜用体积坐标（专门使用于四面体单元的一种自然坐标，其特点类似于三角形单元中的面积坐标）表示F（x,y,z），因为它的形式最为简单；对于等参数单元，宜将式中整体坐标变量x,y,z替换位局部的自然坐标变量。另外由公式（2-7）构造的形函数还需检验它是否满足：

（对等参数单元，是自然满足的就无须检验），和位移协调条件。对于自由度总数为n的空间结构，其整体等效荷载列阵{R}为: 

它是由单元的等效结点荷载列阵集合而成的，若单元有d个结点，则元素为

类似平面问题那样，应用虚功保持相等的条件导出求解的普遍公式为：

公式中的，，分别是集中荷载、分布体力、分布面力列阵；分别是集中荷载、分布体力、分布面力的单元等效结点荷载列阵；v为单元的体积，为单元受载面的面积。由形成的理论公式，仍然是

）

但实际上还是按自由度序号“对号入座”和“同序号相加”的方法由形成。

3。2。4 应变、应力矩阵

三维弹性体情况下的力学基本变量为:位移分量u、v、w;应力分量、、、、、；应变分量、、、、、。其示意图如图(3。1)所示：

图(3-1) 三维问题中的应力分量