高阶等差数列的探究与应用
关键词：高阶等差数列；通项公式；前 项和；堆垛问题；差数列
引言
高阶等差数列是数学研究的热点问题.我们在中学的教材中，只见到了“等差数列”“等比数列”，但也出现了一些数列，非“等差”或“等比”数列，让求它的通项公式或者前 项的和.而高阶等差数列就是其中的一类.因此，本文试着对“高阶等差数列”进行一些探究与分析.本文主要从“高阶等差数列”的基本概念、通项公式、求和公式和在实际中的应用进行分析和研究.高阶等差数列在初等和高等的学习进程中有着不可或缺的作用，其所蕴含的思想方法非常丰富，对发展学者的数学思文能力有重要意义.
文中所引用的参考文献[1]、[2]、[4]、[6]对高阶等差数列及其应用进行了分析与研究；文献[3]、[5]对高阶等差数列的通项公式和前 项的和公式进行了研究，文献[11]对高阶等差数列在堆垛中的应用进行了总结.但是，部分参考文献所做的工作并不完善，例如文献[1]、[2]对求高阶等差数列的前 项和的方法的总结和对高阶等差数列在实际中的应用不够全面.文献[8]对高阶等差数列的性质总结又不够全面系统.
本文在参考了大量文献的基础上，对高阶等差数列的概念，通项公式，前 项和公式，做了一个归纳总结,对求前 项和的方法做了一个分析比较.并且对高阶等差数列在实际中的应用，进行了大量的举例.同时，对部分参考文献的不足之处进行了细致补充，使得每一个方面的问题与解决方法都足够充分，让读者对高阶等差数列，有一个全面系统的认识.
1.高阶等差数列的概念
对于高阶等差数列的概念，为了符合一般的认识规律，我们先从“差数列”开始研究
1.1定义 给定一个数列{ }，如果依次从第二项开始，逐次减去它的前一项，得到一个新的数列{ - }，简单记作{ }，就把它叫做原来数列{ }的一阶差数列.
以此类推，我们队一阶差数列{ }再求差，得到新的数列.
{ ︱ ＝ ＝ － }就叫原数列{ }的二阶差数列，由此，可以求得三阶差{ }，四阶差{ }，……，K阶差{ }，……
注： 的 不是表示幂的意义，而只是表示K阶差的符号
我们列表表示这种关系如下：
＝{ }： ， ， ， ，… ， ， ， ，… ；
{ }＝{ }： ， ， ，… ， ， ，… ；
{ }： ， ， ，… ， ， ，… ；
{ }： ， ， ，… ， ，… ；
……
我们来举一个例子更好的说明这个问题
例如： ＝ ，即
＝{ }：1 ，16 ，81 ，256 ，625 ，1296 ，2401 ，……；
{ }＝{ }：15 ，65 ，175 ，369 ，671 ，1105 ，……；
{ }：50 ，110 ，194 ，302 ，434 ，……；
{ }：60 ，84 ，108 ，132 ，……；
{ }：24 ，24 ，24 ，……；
{ }：0 ，0 ，0 ，……；
{ }：0 ，0 ，0 ，……；
……
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