摘要在数值积分领域中，我们常常会遇到一些比较复杂的问题，比如原函数存在但无法用初等函数来表示。这就无法用牛顿-莱布尼茨公式解决了。高斯积分公式就很好地解决了这个问题。

    高斯求积公式通过选取适当的节点和求积系数，可以使求积公式达到最高的代数精度，同时也保证了求积公式的稳定性。86489

    本文通过对数值积分原理、正交多项式以及它的零点、代数精度、非线性方程组的求解以及高斯型求积公式的论述，来介绍高斯型积分公式的原理。

毕业论文关键词：代数精度；高斯型求积公式；非线性方程组求解；正交多项式

Abstract In the field of numerical integration, we often encounter some complex problems。 For example, the primitive function dose exist, but it can not be expressed by elementary function。 So we can not use the Newton Leibniz formula to solve the problems 。 Gauss integral formula is a good method to these problems。

By selecting appropriate nodes and quadrature coefficients , we can not only make gaussian quadrature formula reach the highest algebraic accuracy, but also ensure the stability of quadrature formula。 

This paper introduces the principle of numerical integral, orthogonal polynomials and their zeros, algebraic precision, solutions of nonlinear equations and Gauss type quadrature formulas。 With these we introduce the principle of Gaussian integral formula。

Keywords：Algebraic precision ; Gauss type quadrature formula; Solution of nonlinear equations ; orthogonal polynomial 

目  录

第一章 绪论 1

1。1 高斯型积分公式的背景及意义 1

1。2 高斯型积分公式的国内外研究现状 1

1。3 论文主要工作 1

第二章 数值积分的原理 2

2。1  机械求积公式 2

2。2  待定系数法 3

2。3  插值型求积公式 4

第三章 代数精度与非线性方程组求解 6

3。1 Newton-Cotes求积公式与高斯求积公式的区别 6

3。2 牛顿法求解非线性方程组 8

3。3 牛顿法的进一步研究 9

第四章 高斯型积分公式 14

4。1  Gauss求积公式的构造 14

4。2  高斯点与正交多项式的零点 16

4。3  4种Gauss型求积公式 17

4。3。1。 Gauss-Legendre求积公式 17

4。3。2 Gauss-Laguerre求积公式 19

4。3。3  Gauss-Chebyshev求积公式 20

4。3。4  Gauss-Hermite求积公式 22

4。4 利用高斯公式求解 23

结 语 25

致 谢 26

参考文献 27

第一章 绪论

1。1 高斯型积分公式的背景及意义

    在我们对函数求定积分时我们往往会想到要使用牛顿—科斯特型求积公式，但是随着问题的深入我们发现牛顿—科斯特型求积公式是封闭型的（区间的两个端点都是求积的节点）并且要求求积节点是等距的，有这样的限制导致牛顿—科斯特型求积公式的代数精度只能是n（n是奇数时）或者n+1（n是偶数时）。这就导致了有好多问题得不到解决。论文网