定理2。2。1   设 为单联通区域 内的调和函数，若存在 的共轭调和函数

           （2。2。1）

则 为区域 内的解析函数。

证明：由C。-R。方程中的条件可知 ，那么就可以定义变上限积分

由于 是调和函数，那么对上面的等号两边同时对 做微分，便可知道，

由共轭调和函数的定义得知 ，结合上式，肯定有即也即为 的共轭调和函数，并且 、 满足C。-R。方程，那么 是区域 上的解析函数。

注：由于同一个调和函数的两个共轭调和函数只可能是一个常数的差别，所以在计算由调和函数 决定的解析函数 时，可以添加一个虚数常数，即

其中 由式（2。2。1）确定。

接着介绍第二种方法，即形式代入法。论文网

定理2。2。2   若已知调和函数 且 有定义，则相对应的解析函数为

证明：设 为解析函数，则即 是关于自变量 的函数，所以可以得到 关于 的偏导数为0，即有

那么可以吧 看作是 的函数，把这个函数记为 ，由这个写法写出恒等式

如果把 ， 带入上式，则

因为所要确定的 可能相差一个纯虚数，因此我们假定 是实数，即

从而有因为 可添加任意一个纯虚数，所以

最后，我们来介绍第三种方法，即不定积分法。在阐述不定积分法的时候，我们必须先给出两个引理及其证明。

引理2。2。1  设 为区域 上具有二阶连续偏导数的实值调和函数，则有以下结论

（i） 为区域 上的解析函数。

（ii） 为区域 上的解析函数

证明：引理2。2。1的证明只需证明结论（i）,结论(ii)是类似可证的。记

那么就是说 和 满足C。-R。方程，又因为 区域 上具有二阶连续偏导数，所以 和 在区域 上具有一阶连续偏导数，因此函数

在区域 上为解析函数。

引理2。2。2  （i）设区域 含实轴的一段L，函数 和 都是区域 上的解析函数，则在区域 内有

(ii）设区域 含虚轴的一段L，函数 和 都是区域 上的解析函数，则在区域 内有

证明：在引理2。2。2中同样只需证明结论（i），由于在实轴L上有

所以 和 在实轴L上（包含在区域 内）相等，再由唯一性定理，所以在区域 内，有

由引理2。2。2又可直接得出下面的推论 。

推论2。2。1 （i）设函数 为区域 （含实轴的一段L）内的解析函数，则可令 ， 将 化为 的一元函数，即

（ii）设函数 为区域 （含虚轴的一段L）内的解析函数，则可令 ， 将 化为 的一元函数，即

定理2。2。3 设 为区域 内（ 包含实轴或虚轴的一段L）具有二阶连续偏导数的实值调和函数，则

(i) 区域内以 为实部的解析函数为文献综述

其中 为任意实常数，而

为 的一元函数。

(ii) 区域内以 为虚部的解析函数

其中 为任意实常数，而

为 的一元函数。证明：定理2。2。3的证明同样只需证明结论(i)，结论(ii)类似可证。设 是以 为实部的解析函数，则

由引理2。2。1知 为区域 内的解析函数，由推论2。2。1可将 化为 的一元函数，于是在式（2。2。2）两边对 求不定积分得